SKKN Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2
Toán học là một nội dung cực kỳ quan trọng trong công tác bồi dưỡng và phát triển năng lực cho học sinh nhất là học sinh giỏi.
Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2
(Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015)
MỤC LỤC
TRANG
1-2
NỘI DUNG
Sơ đồ khai thác tính chất lũy thừa bậc hai trong SKKN
năm học 2014-2015
I – ĐẶT VẤN ĐỀ
1) Lý do chọn để tài
4
4
4
4
4
2) Phạm vi đề tài
3) Thời gian thực hiện đề tài
4) Đối tượng nghiên cứu
5) Phương pháp nghiên cứu
II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1) Quá trình chuẩn bị
5
5
6
7
9
2) Quá trình thực hiện
Khắc sâu BĐT kép
Sử dụng hẳng bất đẳng thức (I): a2 + b2 ≥ 2ab
Sử dụng hẳng bất đẳng thức (II): (a + b)2 ≥ 4ab
14
Sử dụng BĐT (III): 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2
III – KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1) Kết quả
17
18
2) Bài học kinh nghiệm
1/18
Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2
(Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015)
SƠ ĐỒ KHAI THÁC BĐT (I) (SKKN năm học 2014 -2015)
2
A ≥ 0
(A - B)2 ≥ 0
(ay - bx)2 ≥ 0
(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2
1
1
1
(x + y + z)(
+
+ ) ≥ 9 với x, y, z>0
x
y
z
x, y, z > 0 và x+ y + z = 1.
x, y, z > 0 và x+ y + z
1.
a, b, c > 0 và a+ b + c
1.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
CMR: +
+
≥ 9
CMR: +
+
≥ 9
CMR
1
a2 2bc b2 2ac c2 2ab
x
y
z
x
y
z
a
b
c
3
+
+
≥
với a,b,c>0
b c a c b a
2
a2 b2 c2
a b c
+
+
≥
với a,b,c>0
b c a c b a
2
a2
b2
c2
3
+
+
≥
với a,b,c>0;
b c c a b a
2
1
1
1
3
2
+
+
≥
với x,y,z > 0 ; xyz = 1
x3 (y z)
y3 (z x)
z3 (x y)
1
1
1
+
+
với x,y,z > 0 : xyz = 1
x3 (y z)
y3 (z x)
z3 (x y)
Tìm GTNN của:
2/18
Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2
(Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015)
SƠ ĐỒ KHAI THÁC BĐT (II) VÀ (III) (SKKN năm học 2014 -2015)
A2 ≥ 0
(A + B)2 ≥ 0
(A + B)2 ≥ 4AB
A
B
B
≥ 2
A
1
1
4
+
≥
với a, b > 0
1
x + ≥ 2
a
b
a b
x
1
1
1
1 1
(
1
1
ab + cd ≥ 2
(với a, b, c > 0, abcd = 1)
+
+
≤
)
a b
b c
c a
Với a, b, c >0
2 a
b
c
a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4
(với a, b, c > 0, abcd = 1)
1
1
1
Với x, y, z >0;
+
= 4. CMR
x
y
z
1
1
1
+
+
≤ 1
a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd ≥ 10
(với a, b, c > 0, abcd = 1)
2x y z
x 2y z
x y 2z
ab
bc
ac
p
+
+
≤
a b 2c 2a b c c 2b c
2
Với a, b, c là ba cạnh của tam giác p là nửa chu vi
1
1
1
1
1
1
+
+
≥ 2 ( + + )
p a
p b
p c
a
b
c
Với a, b, c là ba cạnh của tam giác; p là nửa chu vi
1
1
1
1
1 1
a b c b c a c a b a b c
Với a, b, c là ba cạnh của tam giác; p là nửa chu vi
3/18
Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2
(Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015)
PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ
1- Lý do chọn đề tài
Tại đại hội toàn quốc lần thứ IX của Đảng cộng sản Việt Nam đã khẳng
định:
“Giáo dục và đào tạo phải có sự đổi mới và nâng cao chất lượng toàn diện
về nội dung phương pháp dạy và học. Phát huy tư duy khoa học sáng tạo, năng
lực tự học , tự nghiên cứu của học sinh”
Sự phát triển mạnh mẽ của cách mạng khoa học của công nghệ thông tin
hiện đại toán học đã có tác dụng sâu sắc trong mọi lĩnh vực của xã hội loài
người.
Chính vì vậy, trong chiến lược con người hiện nay, nhà nước ta coi trọng
đặc biệt việc nâng cao toàn diện về giáo dục cho học sinh. Đặc biệt nhà nước ta
trong các chỉ thị giáo dục luôn đề cao bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh có
năng khiếu, bồi dưỡng nhân tài ở các trường phổ thông.
Toán học là một nội dung cực kỳ quan trọng trong công tác bồi dưỡng và
phát triển năng lực cho học sinh nhất là học sinh giỏi.
Trong chương trình Toán lớp, Cuốn sách Đại số 9 có tính chất: Luỹ thừa
bậc hai của một số.Nắm chắc, hiểu sâu tính chất này, học sinh áp dụng được vào
nhiều bài toán về Bất đẳng thức.
2. Phạm vi chọn đề tài
Nội dung của bài viết trong bản Sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ trình
bày việc khai thác tính chất: Luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm. Biến
đổi nó thành một Bất đẳng thức kép và hương dẫn học sinh sử dụng nó.
Các bài toán trong bản Sáng kiến kinh nghiệm được chọn lọc và đủ dạng
loại Đại số và hình học giúp học sinh sử dụng tốt Bất đẳng thức trên.
Đặc biệt tôi đi sâu vào biện pháp khai thác phát triển và sử dụng Bất đẳng
thức: (a -b)2≥ 0. Tuỳ theo mức độ dạy cho học sinh đại trà hoặc học sinh giỏi.
3. Thời gian thực hiện
- Các năm học 2014-2015; 2015-2016; 2016-2017
4. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 8A1, 9A1 - Trường THCS Phương Liệt
5. Các phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu và sách tham khảo.
- Tổng hợp nội dung nghiên cứu theo từng dạng bài hoặc chuyên đề.
- Trong quá trình nghiên cứu các phương pháp thực tiễn gồm:
+ Phương pháp điều tra
+ Phương pháp thực nghiệm
+ Phương pháp nêu vấn đề
+ Phương pháp phân tích tổng hợp
4/18
Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2
(Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015)
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Quá trình chuẩn bị
Khảo sát thực tế: Sau khi nhận lớp, tôi dành thời gian làm quen với lớp,
tình hình học tập của các em. Đánh giá sơ bộ trình độ nhận thức của học sinh
qua bài kiểm tra chất lượng. Tìm phương pháp giảng dạy thích hợp với đối
tượng.
+ Giáo viên nghiên cứu nội dung của SGK lớp 8, SGK lớp 9, hệ thống bài tập
lien quan đến bất đẳng thức từ lớp 6 đến lớp 9 đặc biệt là lớp 8 và lớp 9.
+ Hệ thống lại các bài tập cùng dạng loại, sâu chuỗi các kiến thức lại với nhau
tạo thành hệ thống bài tập phát triển tư duy vững chắc.
+ Sau mỗi dạng loại, có chốt kiến thức và khắc sâu phương pháp.
+ Phương pháp dạy học phải tạo điều kiện cho học sinh được học tập và trải
nghiệm, phát triển năng lực tự học cho học sinh.
Tôi thực hiện đề tài này với lớp 8A1, 9A1. Thời gian thực hiện 4 tháng.
Khảo sát kết quả trước khi thực hiện như sau:
Xếp loại
Lớp 8A1
Lớp 9A1
Giỏi
30%
28%
Khá
38%
43%
Trung bình
27%
22%
Yếu
5%
7%
Trước khi thực hiện đề tài: việc chứng minh bất đẳng thức gặp vô cùng khó
khăn, học sinh không biết vận dụng kiến thức để chứng minh bất đẳng thức,
không khí học tập trầm đơn điệu, học sinh khá giỏi chán nản, có ý thức chủ quan
xem nhẹ trong học tập, coi thường thiếu ý chí vươn lên.
5/18
Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2
(Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015)
2) Quá trình thực hiện:
A. KHẮC SÂU BẤT ĐẲNG THỨC KÉP:
(a b)2
a2 + b2 ≥
≥ 2ab
2
1/.Tính chất của lũy thừa bậc hai
“Bình phương của mọi số đều không âm”
A2 ≥ 0 A
Suy rộng ra : (a – b)2≥ 0 với a, b R
Đây là một hằng bất đẳng thức quen thuộc mà việc ứng dụng của nó trong
khi giải các bài tập Đại số và Hình học rất có hiệu quả :
a2 + b2 ≥ 2ab
(a + b)2 ≥ 4ab
(I)
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ≥ 0
(II)
(a b)2
a2 + b2 ≥
(III)
2
Dấu bằng xảy ra khi a = b.
Cả ba Bất đẳng thức trên đều nêu lên ý nghĩa quan hệ giữa tổng hai số với
tích của chúng hoặc với tổng các bình phương của hai số đó .
2.Chứng minh Bất đẳng thức (I), (II), (III).
BĐT (I):
a2 + b2 ≥ 2ab
a2 – 2ab + b2 ≥ 0
(a – b)2 ≥ 0 (đúng)
Dấu “=” xảy ra khi a = b.
BĐT (II):
(a + b)2 ≥ 4ab
a2 + 2ab + b2 – 4ab ≥ 0
a2 – 2ab + b2 ≥ 0
(a – b)2 ≥ 0 (đúng)
Dấu “=” xảy ra khi a = b.
BĐT (III):
(a b)2
a2 + b2 ≥
2
2a2 + 2b2 ≥ a2 + 2ab + b2
a2 – 2ab + b2 ≥ 0
(a – b)2 ≥ 0 (đúng)
Dấu “=” xảy ra khi a = b.
Tổng hợp cả ba Bất đẳng thức (I), (II), (III) tạo ra một Bất đẳng thức kép:
6/18
Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2
(Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015)
(a b)2
a2 + b2 ≥
≥ 2ab
2
Dấu “=” xảy ra khi a = b.
B. CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG
I/.Sử dụng hẳng bất đẳng thức (I): a2 + b2 ≥ 2ab
*Áp dụng BĐT (II) : a2 + b2≥ 2ab vào đại số.
1.Bài toán 1:
Cho các số a, b, c, x thoả mãn điều kiện
x + a + b + c = 7
x2 a2 b2 c2 13
5
Chứng minh rằng : 1 ≤ x ≤ .
2
Giải :
Áp dụng BĐT (I) : a2 + b2 ≥ 2ab.
Do đó :
2 ( a2 + b2 + c2 ) ≥ 2ab + 2ac + 2bc
3( a2 + b2 + c2 ) ≥ ( a + b + c )2
(*)
Mặt khác: (1) a + b + c = 7 – x
(2) a2 + b2 + c2 = 13 – x2
Thay vào (*):
3(13 – x2) ≥ (7 – x)2
4x2 – 14x + 10 ≤ 0
5
2( x – 1 )(x - ) ≤ 0
2
5
1 ≤ x ≤ (đpcm).
2
2.Bài toán 2 :
Cho ba số x, y, z thoả mãn: x + y + x = 1
Chứng minh rằng : x4 + y4 + z4 ≥ xyz
Giải :
Áp dụng BĐT (I) ta có : a2 + b2 ≥ 2ab
Do đó :
x4 + y4 ≥ 2x2y2
y4 + z4 ≥ 2y2z2
z4 + x4 ≥ 2z2x2
2( x4 + y4 + z4 )≥ 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 )
(1)
(2)
Áp dụng bất đẳng thức (I)
x2y2 + y2z2 ≥ 2xy2z
y2z2 + x2z2 ≥ 2yz2x
z2x2 + x2y2 ≥ 2zx2y
2( x2y2 + y2z2 + x2z2) ≥ 2xyz( x + y + z )
Từ (1), (2) suy ra:
x4 + y4 + z4 ≥ xyz (đpcm)
7/18
Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2
(Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015)
3.Bài toán 3:
Cho ba số a, b, c, d thoả mãn điều kiện: a + b + c + d = 2
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 1
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức (1): a2 + b2 ≥ 2ab ta có :
a2 + b2 ≥ 2ab
c2 + b2 ≥ 2cb
d2 + c2 ≥ 2dc
a2 + b2 ≥ 2ab
a2 + d2 ≥ 2ad
b2 +d2 ≥ 2db
Cộng theo vế của các bất đẳng thức trên ta được:
3(a2 + b2 + c2 + d2) ≥ 2 (ab + bc + cd + ac + ad + bd)
4(a2 + b2 + c2 + d2) ≥ (a + b + c + d )2 = 22 = 4
a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 1 (đpcm)
1
Dấu “= ”xảy ra khi a = b = c = d = .
2
*Áp dụng BĐT (I) : a2 + b2≥ 2ab vào hình học.
4.Bài toán 4:
Trong tứ giác lồi ABCD với diện tích S có điểm 0 thoả mãn điều kiện :
OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S.
Chứng minh rằng: ABCD là hình vuông nhận O là tâm
Giải :
+ Ký hiệu SABCD = S
SAOB = S1; SBOC = S2; SCOD = S3 ; SDOA = S4
C
B
1
1
O
+ S1≤ OA.OB; S2≤ OB.OC;
2
2
1
1
S3≤ OC.OD; S4≤ OD.OA;
2
2
D
A
1
Áp dụng BĐT (1): a2 + b2 ≥ 2ab ab ≤ ( a2 + b2)
2
1
Ta có : S ≤ ( S1 + S2 + S3 + S4 )
2
1
1
2
S ≤ OA.OB + OB.OC + OC.OD + OD.OA ≤ .
( OA2 + OB2 + OC2 +
2
1
1
OD2 + OA2 + OB2 + OC2 + OD2 ) = ( OA2 + OB2 + OC2 + OD2) = .2S = S
2
2
Ta thấy điều này chỉ xảy ra khi các BĐT đều trở thành đẳng thức, nghĩa là phải
có:
OA OB;OB OC;OC OD;OD OA
OA OB OC OD
ABCD là hình vuông nhận O làm tâm.
5.Bài toán 5:
Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng d song song với nhau. Tìm điểm M
(M và d nằm khác phía đối với AB ) sao cho các tia MA, MB tạo với đường
thẳng d thành
MCD có diện tích nhỏ nhất.
8/18
Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2
(Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015)
Giải :
d’
M
x
A
B
H
h
d
C
K
D
Gọi C và D là giao điểm của các tia MA và MB với đường thẳng D.
Diện tích
MCD = S; MH và MK là các đường cao của
MAB và
MCD.
Đặt MH = x; AB = a; HK = h.
Do AB // CD
MAB đồng dạng
MCD
AB MH
x
a(x h)
CD
CD MK x h
x
1
a (x h)2 a x2 2hx h2
.
a
h2
Do đó : S = CD.MK =
(x 2h
)
2
2
x
2
x
h2
x
2
x
Do a và h là hằng số nên S nhỏ nhất khi x+
nhỏ nhất.
h2
Ta lại thấy x và
là hai số dương
x
h2
Xét tích x.
=h2
x
h2
x
h2
Vậy tổng x+
nhỏ nhất khi và chỉ khi x =
x2 = h2 x = h.
x
II/.Sử dụng hẳng bất đẳng thức (II): (a + b)2 ≥ 4ab
*Áp dụng BĐT (II) : (a + b)2≥ 4ab vào đại số.
6.Bài toán 6:
Cho x, y là các số thực thỏa mãn x + y = 2. Chứng minh :
xy(x2 + y2)
2
Giải
2
a b
Áp dụng bất đẳng thức : ab
, ta có :
4
2
2
2
4
2xy x y
x y
1
1
xy x2 y2 (2xy)(x2 y2 )
2
2
2
4
8
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y =1
6.Bài toán 6:
Cho a, b, c >0 và a + b + c = 1 CMR: b + c ≥ 16abc.
Giải:
Áp dụng BĐT (II) : (a + b)2 ≥ 4ab
9/18
Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2
(Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015)
Từ giả thiết: 1 = ( a + (b + c)2) ≥ 4a(b + c)
Do b + c > 0 nên nhân hai vế với b + c
b + c ≥ 4a(b + c)2`
(1)
(2)
Áp dụng BĐT (II) ta lại có :
( b + c )2 ≥ 4bc
Từ (1) và (2) suy ra:
b + c ≥ 4a.4bc = 16abc.
Vậy b + c ≥ 4abc. (đpcm).
1
Dấu “=” xảy ra khi a = b + c =
2
7.Bài toán 7:
Cho a, b, c > 0
CMR : (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.
Giải :
Áp dụng BĐT (II) ta có :
(a + b)2 ≥ 4ab
(b + c)2 ≥ 4bc
(c + a)2 ≥ 4ca.
(a + b)(b + c)(c + a)2 ≥ 64a2b2c2(vì a, b, c >0).
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc. (vì a, b, c >0) (đpcm).
Xảy ra đẳng thức khi a = b = c >0.
8.Bài toán 8:
Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta có :
(a + b)2 (b + c)2 ≥ 4abc(a + b + c).
Giải
Áp dụng BĐT (II) ta có :
Trước hết (a + b)2 (b + c)2 = (a + b)(b + c)2
= (ab + ac + b2 + bc)2 = (ac + (a + b + c)b2.
Áp dụng BĐT (II) cho hai số : ac và (a + b + c)b ta có:
(ac + (a + b + c)b2≥ 4ac.(a + b + c)b
Xảy ra dấu “=”khi ac = (a + b + c).b
Vậy (a + b)2 (b + c)2 ≥ 4abc(a + b + c) (đpcm).
9.Bài toán 9:
Cho a1, a2, a3, …, an
0; 1.
2
2
2
2
CMR : (1 + a1+ a2+ a3+ …+ an)2≥ 4 (a1 + a2 + a3 + …+ an ).
Giải:
Áp dụng BĐT (II): (a + b)2≥ 4ab.
Cho hai số 1 và a1+ a2+ a3+ …+ an ta được:
(1 + a1+ a2+ a3+ …+ an)2≥ 4.1.( a1+ a2+ a3+ …+ an).
hay (1 + a1+ a2+ a3+ …+ an)2≥ 4( a1+ a2+ a3+ …+ an).
Do ai
0; 1. với i = 1, 2, 3, …, n
Nên suy ra ai ≥ ai2.
Từ các kết quả trên ta suy ra:
10/18
Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2
(Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015)
2
2
2
2
(1 + a1+ a2+ a3+ …+ an)2≥ 4 (a1 + a2 + a3 + …+ an ).
Xảy ra dấu “=” khi a1= a2= a3= …= an-1 = 0 và an = 1
*Áp dụng BĐT (II) : (a + b)2≥ 4ab vào hình học.
10.Bài toán 10:
Cho tứ giác lồi ABCD có tổng hai đường chéo bằng 48.
CMR diện tích SABCD ≤ 288.
Chứng minh
1
Ta có SABCD = S = AC.BD
(1)
(2)
2
với AC và BD là hai đường chéo.
(a b)2
Áp dụng BĐT (II): (a + b)2≥ 4ab ab≤
vào BĐT (1) ta có :
4
(AC BD)2 482
AC.BD ≤
576
4
4
1
Từ (1) và (2) suy ra : S ≤ .576= 288 (đpcm).
2
11.Bài toán 11:
Hai đường chéo AC và BD của tứ giác lồi ABCD cắt nhau tại O. Biết diện
tích SAOB = 49; SCOD = 64. CMR : S(ABCD) ≥ 225.
Giải
C
SAOB
SAOD
OA
B
Ta có :
(chung đường cao)
SBOC OC SCOD
SAOB . SCOD = SBOC . SAOD = 49 . 64 = 562.
Áp dụng BĐT (II) : (a + b)2 ≥ 4ab ta có :
(SBOC + SAOD)2 ≥ 4 SBOC . SAOD
O
(SBOC + SAOD)2 ≥ 4 . 49 . 64 = 1122
SBOC + SAOD ≥ 112.
SABCD ≥ 49 + 64 +112 = 225 (đpcm).
D
A
12.Bài toán 12:
Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S = 2048, tổng AB + BD + DC = 128.
Tính độ dài BD?
Giải:
C
SABCD = SABD + SBCD
B
1
1
1
≤
AB.BD CD.BD BD(AB CD)
2
2
2
Áp dụng BĐT (II) (a + b)2≥ 4ab
O
(a b)2
ab≤
cho hai số : BD và AB + CD ta có :
4
D
A
1
1 (BD AB CD)2 1 1
2048 ≤ BD.(AB CD) .
. .1282 = 2048.
2
2
4
2 4
11/18
Tải về để xem bản đầy đủ
18 trang
29/07/2025
360
Bạn đang xem 11 trang mẫu của tài liệu "SKKN Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_khai_thac_va_phat_trien_tinh_chat_cua_luy_thua_bac_2.doc
