1. Trang Chủ
    2. ›
  2. SKKN Hay
    3. ›
  3. Trung Học Phổ Thông
    4. ›
  4. Lớp 11
    5. ›
  5. Toán Học Lớp 11

SKKN Ứng dụng tâm tỉ cự của hệ điểm giải bài toán cực trị hình học giải tích trong không gian

Với ý tưởng hướng đến kỳ thi THPTQG năm 2019. Tôi nhận thấy rằng để học sinh trường tôi tiếp cận được những câu hỏi vận dụng trong đề thi là một vấn đề khó khăn, tuy nhiên qua tìm hiểu đề minh học của Bộ giáo dục, đề thi thử của các trường tôi thấy có một số bài toán về sử dụng tâm tỉ cự để tìm cực trị đối với hình học giải tích trong không gian, đây là một dạng toán có thể khai thác, tổng quát và đặc biệt rất phù hợp với năng lực học sinh trường tôi.
Download
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ  
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI  
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM  
ỨNG DỤNG TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH  
HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN  
Lĩnh vực: Toán học  
Tên tác giả: Nguyễn Thị Minh Nguyệt  
Chức vụ : Giáo viên  
Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Lợi  
NĂM HỌC 2018-2019  
MỤC LỤC  
Trang  
A. Mục đích  
2
2
I.Lý do  
II. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu  
III.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu  
IV. Phương pháp nghiên cứu  
V. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu  
B. Nội dung  
2
2
2
2
I.Cơ sở lý luận  
3
3
II. Đánh giá thực trạng  
III. Phương pháp sử dụng tâm tỉ cự để giải bài toán cực trị hình học giải tích trong  
không gian  
1. Lý thuyết  
3
5
8
9
2. Bài toán tổng quát 1  
3. Bài toán tổng quát 2  
C. Kết luận  
Tài liệu tham khảo  
Phụ lục  
10  
10  
1
A. MỤC ĐÍCH  
I. Lý do chọn đề tài  
Với ý tưởng hướng đến kỳ thi THPTQG năm 2019. Tôi nhận thấy rằng để  
học sinh trường tôi tiếp cận được những câu hỏi vận dụng trong đề thi là một vấn đề  
khó khăn, tuy nhiên qua tìm hiểu đề minh học của Bộ giáo dục, đề thi thử của các  
trường tôi thấy có một số bài toán về sử dụng tâm tỉ cự để tìm cực trị đối với hình  
học giải tích trong không gian, đây là một dạng toán có thể khai thác, tổng quát và  
đặc biệt rất phù hợp với năng lực học sinh trường tôi. Chính vì vậy để giúp các em  
ôn tập tốt, đạt điểm cao trong kỳ thi THPTQG năm nay, tôi chọn đề tài sáng kiến  
kinh nghiệm sau đây:  
“ỨNG DỤNG TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ  
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN”  
II. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu  
1.Mục đích: Phương pháp sử dụng tâm tỉ cự để tìm cực trị.  
2.Nhiệm vụ:  
Tìm hiểu khái niệm tâm tỉ cự  
Phương pháp tìm cực trị trong không gian  
Thông qua việc phân tích và giải quyết các ví dụ cụ thể hình thành cho học  
sinh kỹ năng để giải bài toán cực trị hình học giải tích trong không gian.  
III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu  
Kiến thức hình học phẳng về vectơ (lớp 10) và phương pháp tọa độ Oxyz ( lớp 12)  
Đối tượng khảo sát là học sinh lớp 12A1,12A4 trường THPT Lê Lợi  
IV. Phương pháp nghiên cứu  
1. Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết  
2. Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết  
3. Phương pháp kiểm tra đánh giá.  
V. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu  
Thời gian nghiên cứu:Trong năm học 2018-2019, bắt đầu từ tháng 8/2018 và kết  
thúc vào tháng 5/2019.  
B. NỘI DUNG  
I. Cơ sở lý luận  
Tâm lý của đa số học sinh hiện nay đều rất ngại học toán, cùng với việc đổi  
mới kỳ thi tự luận sang trắc nghiệm nên khi gặp những bài toán khó học sinh lười  
suy nghĩ, không đầu tư thời gian và công sức tìm ra hướng giải quyết cho bài toán  
mà chỉ chọn “hú họa” một phương án nào đó, tuy nhiên cũng có nhiều học sinh có  
tiềm năng nhưng do nhiều nguyên nhân khác nhau chẳng hạn như: quên kiến thức  
của lớp dưới, chưa xây dựng được kế hoạch học tập theo các chuyên đề của môn  
toán, chưa biết phương pháp học tập môn toán, chưa biết cách tìm kiếm thông tin  
hoặc biết nhưng còn lười nhác nên cũng không có hứng thú với việc học toán. Xác  
2
định được các nguyên nhân trên là điều rất quan trọng và cần thiết đối với mỗi học  
sinh. Công việc tiếp theo của giáo viên là tìm cách khắc phục các nguyên nhân trên.  
Giáo viên phải khơi gợi lại sự đam mê của các em, hướng dẫn cho các em biết cách  
tổng hợp kiến thức và tổng quát lên thành lớp các bài toán tương tự giúp các em học  
toán một cách nhẹ nhàng mà hiệu quả vẫn cao.  
II. Đánh giá thực trạng  
Qua tìm hiểu đồng nghiệp, thăm dò ý kiến học sinh và từ thực tế giảng dạy  
tôi nhận thấy năng lực học hình của học sinh trường tôi còn hạn chế, đặc biệt đối với  
các bài toán liên quan đến cực trị trong hình học không gian. Để góp phần nâng cao  
năng lực học tập và tạo hứng thú cho các em đối với bộ môn hình học nói chung và  
hình học giải tích trong không gian nói riêng, tôi đề xuất hai bài toán về ứng dụng  
tâm tỉ cự sau đây bước đầu giúp các em có định hướng đi tìm lời giải bài toán cực trị  
hình học giải tích trong không gian nhằm giúp các em đạt kết quả cao hơn trong học  
tập.  
III. Phương pháp sử dụng tâm tỉ cự để giải bài toán cực trị hình học giải tích  
trong không gian  
1. Lý thuyết  
* Tâm tỉ cự: Trong không gian, cho hệ  
n
điểm A , A2 ,..., An và  
n
số thực  
1
k1, k2,..., kn thỏa mãn k1 k2 ...kn k 0 . Khi đó, tồn tại duy nhất một điểm  
   
trong không gian thoả mãn: k1 IA k2 IA2 ...kn IAn 0  
I
1
Điểm  
I
như thế được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm  
A
gắn với các hệ số  
i1,n  
   
i
k
.
   
i
i1,n  
* Nhận xét: Trong không gian Oxyz cho  
A x ; y ;z , A x ; y ;z ,..., A x ; y ;z ,I x; y;z  
1
  
A
2
  
n
  
A
A
A2  
A2  
A2  
An  
An  
An  
1
1
1
k1xA k2xA ...knxA  
1
2
n
x   
k1 k2 ...kn  
k1yA k2 y ...kn y  
A2  
An  
1
Ta có công thức để tính tọa độ điểm I y   
.
k1 k2 ...kn  
k1zA k2z ...knz  
A2  
An  
1
z   
k1 k2 ...kn  
2. Bài toán tổng quát 1.  
Bài toán tổng quát 1: Trong không gian, cho  
n
điểm A , A2 ,..., An và  
n
số thực  
1
k1, k2,..., kn thỏa mãn k1 k2 ...kn k 0 . Cho đường thẳng  
d
hoặc mặt  
3
phẳng  
P
. Tìm điểm  
M
trên đường thẳng  
  
k1MA k2 MA ...kn MAn đạt giá trị nhỏ nhất.  
d
hoặc mặt phẳng  
P
   
sao cho  
   
  
  
1
2
Phương pháp:  
  
  
  
+ Tìm điểm  
I
thỏa mãn: k IA k2 IA2 ...kn IAn 0  
.
1
  
  
1  
  
+
k1MA k2 MA ...kn MA k MI  
1
2
n
+ Điểm  
M
cần tìm là hình chiếu vuông góc của  
I
trên đường thẳng  
d
hoặc mặt  
phẳng  
P
   
.
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 1;1;2 ;B 0;1;3 . Xét điểm  
   
  
  
  
M
thay đổi trên mặt phẳng Oxz , giá trị nhỏ nhất của OM 2MA3MB bằng?  
3
1
C. .  
2
1
D. .  
4
A.  
1
.
B. .  
2
Lời giải  
Chọn A  
2xA 3xB  
x   
4
  
  
   
2yA 3yB  
4
2zA 3zB  
1
1
5
4
Gọi I x; y;z thỏa OI 2IA3IB 0 y   
I ;;  
.
2
4
z   
4
  
  
  
  
  
  
  
  
Ta có : OM 2MA3MB OI 2IA3IB 4MI 4 MI  
.
  
  
  
  
OM 2MA3MB nhỏ nhất 4 MI nhỏ nhấtMI Oxz  
.
  
Lúc đó 4 MI 4d I; Oxz 1  
.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A 1;2;3 ,B 2;4;3 ,  
   
x6 y 9 z 1  
C 5;0;8 và đường thẳng  
có phương trình :  
. Tìm  
2
5
1
  
   
điểm M a;b;c trên  
sao cho 5MA3MBMC nhỏ nhất. Khi đó khẳng định  
nào sau đây đúng?  
A. a b c 0.  
B. a b c  
D. 2a 3bc 0.  
Lời giải  
.
C. 2a b 3c  
.
Chọn A  
4
Gọi I x; y;z là điểm thỏa mãn  
x 5x 3x x  
A
B
C
  
    
5IA3IBIC 0 y 5y 3y y I 4;2;2 .  
A
B
C
z 5zA 3zB zC  
  
   
  
  
  
    
  
Ta có 5MA3MBMC 5MI 5IA3MI 3IBMI IC MI MI  
.
  
   
Vậy 5MA3MBMC nhỏ nhất MI   hay  
M
là hình chiếu vuông góc  
của trên  
I
.
Ta có phương trình mặt phẳng  
P
   
đi qua  
I
và vuông góc với  
là  
2x 5y z 4 0. Vậy M  P M 2;1;3  
   
Nhận xét: Nếu giả thiết bài toán thay đổi tìm điểm trên mặt cầu thỏa mãn yêu cầu  
cho trước, ta có thể tiến hành như sau  
Oxyz  
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ  
, cho ba điểm  
2  
1
2
2
2
A 0;1;1 ,B 3;0;1 ,C 0;5;6 và mặt cầu S : x1 y 1 z   
        
2  
.
M x; y;z  
   
Biết điểm M x; y;z thuộc mặt cầu  
S
   
và thỏa mãn giá trị của  
  
T 3MA2MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng P x y z bằng  
5
B. P .  
2
3
C. P .  
2
A. P 3.  
D. P 3.  
Lời giải  
Chọn C  
  
   
4
5
6
I
Gọi là điểm thỏa mãn 5IA2IB IC 0, khi đó I 1; ;  
.
3
  
   
  
T 3MA2MB MC 6MI 6MI.  
Do đó nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất M là một trong hai giao điểm của đường  
T
1
2
thẳng IE và mặt cầu  
S
   
với E 1;1;  
là tâm của S .  
   
3
2
x 1  
M1 1;2;  
Phương trình đường thẳng IE: y 1t M IE S   
   
1
2
M2 1;0;  
1
z  t  
2
5
2 2  
3
4 2  
3
Ta có IM1   
,IM2   
.
3
3
3
Vậy M1 1;2;là điểm cần tìm. Vậy P 12  .  
2
2
2
3. Bài toán tổng quát 2  
Bài toán tổng quát 2: Trong không gian, cho  
n
điểm A , A2 ,..., An và  
n
số thực  
hoặc mặt  
sao cho  
1
k1, k2,..., kn thỏa mãn k1 k2 ...kn k 0 . Cho đường thẳng  
d
phẳng . Tìm điểm trên đường thẳng hoặc mặt phẳng  
P
M
d
P
   
   
T k1MA2 k2MA2 ...knMAn2 đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc đạt giá trị lớn nhất).  
1
2
Phương pháp:  
  
  
  
+ Tìm điểm  
I
thỏa mãn: k1 IA k2 IA2 ...kn IAn 0  
.
1
+
T k1MA2 k2MA2 ...knMAn2 kMI2 k1IA2 k2IA2 ...knIAn2  
.
1
2
1
2
+ Do k1IA2 k2IA22 ...knIAn2 không đổi nên  
1
Nếu k 0  
trên đường thẳng  
Nếu k 0 lớn nhất khi điểm  
trên đường thẳng hoặc mặt phẳng  
Ví dụ 1. ( Câu 41 đề minh họa 2019)  
,
T
nhỏ nhất khi điểm  
M
cần tìm là hình chiếu vuông góc của  
I
I
d
hoặc mặt phẳng  
P
.
   
cần tìm là hình chiếu vuông góc của  
,
T
M
d
P
   
.
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2;2;4  
,
B 3;3;1 và mặt phẳng  
P :2xy 2z 80. Xét  
   
2MA2 3MB2 bằng  
M
là điểm thay đổi thuộc  
P
   
, giá trị nhỏ nhất của  
A. 135  
.
B. 105  
.
C. 108  
.
D. 145  
.
Lời giải  
  
Chọn A  
  
Gọi I x; y;z là điểm thỏa mãn 2IA3IB 0 suy ra I 1;1;1  
IA2 27  
;
IB2 12; d I, P 3  
   
   
   
2  
2  
2  
2
2
2MA2 3MB2 2 MI IA 3 MI IB 5MI 2IA 3IB 5MI2 90  
Suy ra 2MA2 3MB2 nhỏ nhất  
MI nhỏ nhất  
Mà MI d I, P 3  
   
Vậy 2MA2 3MB2 5.9 90 135  
.
6
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;2;1 ,B 1;2;1 ,C 2;3;1 và  
     
M
thay đổi thuộc mặt phẳng P :5x y 3z 40. Tìm giá trị lớn nhất của  
   
MA2 4MB2 2MC2.  
A. 35  
.
B. 31  
.
C. 66  
.
D. 97  
.
Lời giải.  
   
Chọn B  
   
Gọi điểm I x; y;z thỏa mãn hệ thức IA4IB 2IC 0  
x 4x 2x x  
x 2  
A
B
C
  
  
   
Ta có IA4IB 2IC 0 y 4y 2y y y 0 I 2;0;7 .  
A
B
C
z 7  
zA 4zB 2zC z  
MA2 4MB2 2MC2 IA2 4IB2 2IC2 IM 2 844.49 2.89IM 2 66IM 2.  
Do đó MA2 4MB2 2MC2 lớn nhất  
IM bé nhất  
35.  
5. 2 3.74  
IM d I; P   
   
2519  
Suy ra max MA2 4MB2 2MC2 31.  
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 3;4;1 ,B 2;1;4 ,C 1;2;3 và  
   
   
x 1 y 6 z 9  
M a;b;c thay đổi thuộc đường thẳng :  
sao cho  
2
5
3
2MA2 3MB2 4MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng P a b c.  
A. P 3  
.
B. P 10  
.
C. P 4  
.
D.  
.
P  3  
Lời giải.  
   
Chọn C  
   
Gọi điểm I x; y;z thỏa mãn hệ thức 2IA3IB4IC 0  
2x 3x 4x x  
x 4  
A
B
C
  
  
   
Ta có 2IA3IB4IC 0 2y 3y 4y y y 3 I 4;3;2 .  
A
B
C
z 2  
2zA 3zB 4zC z  
2MA2 3MB2 4MC2 2IA2 3IB2 4IC2 IM 2  
Do đó 2MA2 3MB2 4MC2 nhỏ nhất  
góc của lên  
IM nhỏ nhất  
M
là hình chiếu vuông  
I
.
  
Ta có M 12t;65t;93t  IM 2t 5;5t 9;3t 7 .  
7
   
Ta có IM.u 0 t 2. vậy M 3;4;3 .  
Nhận xét: Nếu giả thiết bài toán thay đổi tìm điểm trên mặt cầu thỏa mãn yêu cầu  
cho trước, ta có thể tiến hành như sau  
Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 0;1;1  
,
B 3; 0;-1  
,
C 0; 21; -19 và mặt cầu S : x1 2 y 1 2 z 1 2 1  
M a;b; c là điểm  
.
    
thuộc mặt cầu  
S
   
sao cho biểu thức T 3MA2 2MB2 MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.  
Tính tổng a b c  
.
14  
A.a b c   
.
B.a b c 0  
D. a b c 12  
Lời giải  
.
5
12  
5
C. a b c   
.
.
Chọn A  
S : x1 2 y 1 2 z 1 2 1 có tâm I 1;1;1  
    
Gọi G x; y; z là điểm thỏa mãn  
3 0x 2 3x 0x 0  
   
x 1  
  
    
3GA2GB GC 0 3 1y 2 0y 21y 0 y 4  
   
z 3  
3 1z 2 1z  19z 0  
   
G 1; 4;3  
.
Ta có:T 3MA2 2MB2 MC2 6MG2 3GA2 2GB2 GC2  
Tmin   
M
là một trong hai giao điểm của đường thẳng IG và mặt cầu S .  
   
x 1  
Phương trình đường thẳng IG : y 13t  
z 14t  
M IG S nên tọa độ  
   
M
là nghiệm của hệ  
x 1  
8 1  
1
M1 1; ;  
t   
y 13t  
5 5  
2 9  
5
1  
5
. Khi đó :  
z 14t  
t   
M2 1; ;  
2
2
2
5 5  
x1 y 1 z 1 1  
8 1  
Vì M1G M2G nên điểm M M 1; ;  
1  
5 5  
8
14  
5
Vậy a b c   
.
*Sau khi đưa ra kiến thức lý thuyết cơ bản và hai bài toán tổng quát, tôi đã tổ  
chức kiểm tra đánh giá khả năng nắm vững kiến thức của học sinh, để phù hợp  
với yêu cầu của kỳ thi THPTQG, tôi ra đề với hình thức trắc nghiệm, bên cạnh  
đó yêu cầu thêm học sinh ở bản nháp lời giải vắn tắt nhằm đánh giá đúng năng  
lực của học sinh( tránh trường hợp học sinh không làm bài mà chỉ chọn kết quả  
một cách ngẫu nhiên)  
Đề bài:  
Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;2;1  
,
B 2;1;3 . Gọi  
M a;b;0 là điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho MA2 2MB2 lớn nhất. Tính  
S a2 b2  
.
A. S 34  
.
B. S 41  
.
C. S 9  
.
D. S 25  
B 0;0;3  
.
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 3;0;0  
,
,
C 0;3;0 và mặt phẳng P : x y z 30. Gọi M a;b;c (P) sao cho  
   
    
MAMBMC nhỏ nhất, khi đó tổng T a 10b 100c bằng  
A. T 300 B. T 276 C. T 327  
.
.
.
D. T 270  
.
* Thông qua bài kiểm tra này cũng như thực hành cho hệ thống các bài tập trước  
đó, học sinh đã bước đầu biết cách ứng dụng tâm tỉ cự trong bài toán tìm cực trị  
hình học giải tích trong không gian nhằm hướng tới một ứng dụng đẹp của toán học  
và giúp các em tự tin hơn trong việc học tập bộ môn toán . Đó cũng chính là mục  
đích của SKKN này.  
Kết quả cụ thể:  
Trong năm học 2018 - 2019 tôi đã tiến hành kiểm tra nhằm đánh giá hiệu quả  
của đề tài tại lớp 12A1 và lớp 12A4 – Hai lớp do tôi trực tiếp giảng dạy tại Trường  
THPT Lê Lợi. Kết quả thống kê theo bảng sau:  
Lớp Sĩ  
số  
Giỏi  
Khá  
Trung bình  
SL  
Yếu  
Kém  
SL  
%
SL  
%
%
SL  
2
%
SL %  
12 A1 36 10 27,8% 16 44,4% 8 22,2%  
12 A4 38 18,4% 19 50%  
5,6% 0 0%  
7
8 21,1% 4 10,5% 0 0%  
Quá trình thực hiện đề tài với những kết quả trên đây bước đầu có thể thấy hiệu  
quả thiết thực của việc vận dụng đề tài vào thực tiễn dạy học. Những lí luận và bài  
toán tổng quát mà đề tài nêu ra mang tính khả thi và có thể áp dụng trong dạy học  
môn Toán và ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG .  
C. Kết luận  
9
Đề tài đã thu được một số kết quả như sau:  
Đã làm sáng tỏ được vai trò, ý nghĩa việc áp dụng tâm tỉ cự để giải bài toán  
cực trị trong hình học giải tích trong không gian.  
Bước đầu nghiên cứu một số cơ sở lí luận về bài toán cực trị trong hình học  
giải tích.  
Đã đề xuất được hai bài toán tổng quát nhằm nâng cao năng lực giải toán cực  
trị hình học giải tích trong không gian của học sinh .  
Đã tổ chức kiểm tra đánh giá để minh họa tính khả thi và hiệu quả của  
những bài toán đã đưa ra.  
Cuối cùng, dù tôi đã rất cố gắng nhưng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu  
sót, tôi rất mong quý thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý để đề tài được hoàn  
thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!  
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG  
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI  
Đông Hà, ngày 20/05/2019  
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi  
không sao chép nội dung của người  
khác.  
Tác giả  
Nguyễn Thị Minh Nguyệt  
TÀI LIỆU THAM KHẢO  
[1]. Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) - Văn Như Cương ( Chủ biên) - Phạm Vũ  
Khuê - Bùi Văn Nghị (2006), Sách giáo khoa hình học lớp 10, NXB giáo dục.  
[2]. Văn Như Cương ( Chủ biên) - Phạm Vũ Khuê - Trần Hữu Nam (2013), Sách  
bài tập hình học lớp 10, NXB giáo dục.  
[3]. Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) -Văn Như Cương ( Chủ biên) - Phạm Khắc  
Ban- Lê Huy Hùng - Tạ Mân (2008), Sách giáo khoa hình học lớp 12, NXB giáo  
dục.  
[4]. Văn Như Cương ( Chủ biên) - Phạm Khắc Ban- Lê Huy Hùng - Tạ Mân  
(2008), Sách bài tập hình học lớp 12, NXB giáo dục.  
[5]. Nguồn tài liệu từ trang Diễn đàn giáo viên Toán, đề minh họa của Bộ giáo  
dục và đề thi thử của các trường năm 2018-2019.  
PHỤ LỤC  
Hướng dẫn giải bài kiểm tra  
Đề bài  
10  

Tải về để xem bản đầy đủ

pdf 12 trang minhvan 06/08/2024 1320
Download
Bạn đang xem 11 trang mẫu của tài liệu "SKKN Ứng dụng tâm tỉ cự của hệ điểm giải bài toán cực trị hình học giải tích trong không gian", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdfskkn_ung_dung_tam_ti_cu_cua_he_diem_giai_bai_toan_cuc_tri_hi.pdf
SKKN Liên Quan