SKKN Từ kiến thức cơ bản về diện tích hình tam giác phát triển, nâng cao để bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU

TRƯỜNG TIỂU HỌC DIỄN NGỌC 2

----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TỪ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC PHÁT TRIỂN,

NÂNG CAO ĐỂ BỒI DƯỠNG HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN

Người thực hiện: Vò ThÞ Minh

Điện thoại: 01683949237

1

TỪ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC PHÁT

TRIỂN, NÂNG CAO ĐỂ BỒI DƯỠNG HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN

ĐẶT VẤN ĐỀ

Đất nước ta trong thời kỳ công nghiệp hóa hiện đại hóa và hội nhập quốc

tế. Văn kiện hội nghị lần 4 Ban chấp hành TW Đảng CSVN khóa VIII (2/1993)

khẳng định “Giáo dục là quốc sách hàng đầu, là động lực phát triển kinh tế xã

hội”. Thật vậy, trong công cuộc đổi mới của đất nước, cần có những con người

có bản lĩnh, có năng lực chủ động dám nghĩ dám làm để thích ứng với đời sống

xã hội đang từng ngày, từng giờ thay đổi. Muốn vậy, xã hội phải dựa vào giáo

dục mới đáp ứng được điều đó. Chính vì lẽ đó, Đảng đã nhấn mạnh mục tiêu

giáo dục hiện nay là: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân

tài”. Như vậy rõ ràng chúng ta phải đi từ kiến thức cơ bản vững chắc để nâng

cao dân trí và để đào tạo nhân lực cho xã hội. Trên nền tảng đó để chúng ta bồi

dưỡng nhân tài. Chúng ta không thể xây dựng một tòa lâu đài đồ sộ trên một nền

móng không vững vàng, lại càng không thể đào tạo nhân tài khi mà kiến thức cơ

bản chưa vững chắc. Chúng ta không thể bồi dưỡng học sinh giỏi theo kiểu áp

đặt như “cứ gặp dạng thế này là làm thế này” trong lúc học sinh chưa hiểu vì sao

lại làm như thế. Dạy như vậy vô hình chúng ta đã biến học sinh làm việc như

một cái máy rập khuôn, thiếu linh hoạt trong làm bài và thiếu sáng tạo trong

thực tiễn. Chính vì vậy, muốn bồi dưỡng học sinh giỏi phải đi từ kiến thức cơ

bản vững chắc từ đó phát triển, nâng cao dần để các em chiếm lĩnh kiến thức

một cách nhẹ nhàng, thỏa mái và vững chắc.

THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Như chúng ta đã biết, ngay từ khi bước chân vào trường tiểu học các em

đã được làm quen với hình tam giác ở dạng tổng thể (phân biệt hình tam giác

trong số các hình khác: hình vuông, hình tròn ...). Lên đến lớp 5, các em mới

học các khái niệm của hình tam giác như đỉnh, góc, đáy, chiều cao tương ứng

với các đáy và học cách tính diện tích tam giác (tuần 17 – 18) và được củng cố

về cách tính diện tích của nó thông qua nội dung ôn tập hình học cuối cấp.

Thực tế qua nhiều năm dạy học cho thấy, mặc dù các em đã được học đầy

đủ về cách xác định đáy và chiều cao tương ứng với đáy như:

2

- Trong một tam giác ta có thể chọn bất kì một cạnh nào đó làm cạnh đáy,

từ đỉnh đối diện với cạnh đáy kẻ một đường thẳng vuông góc với đáy ta được

đường cao của tam giác

- Cách kẻ đường cao: Đặt một cạnh góc vuông của eke trùng với đỉnh của

tam giác, cạnh góc vuông kia trùng cạnh đối diện với đỉnh để vẽ.

Thế nhưng khi vận dụng vào làm một số bài tập các em không khỏi lúng

túng nhất là trường hợp đường cao nằm ngoài tam giác.

Còn cách tính diện tích hình tam giác đã được sách giáo khoa giới thiệu

cách tính diện tích khi đã biết đáy và chiều cao của nó. Nhưng trong thực tế ta

có thể tính diện tích hình tam giác bằng cách so sánh diện tính. Do đó áp dụng

để làm một số bài tập cụ thể, học sinh vẫn không tránh khỏi những khó khăn,

lúng túng đặc biệt là trường hợp tính diện tích hình tam giác khi mà ta chưa biết

cụ thể độ dài đáy và chiều cao của nó.

Cụ thể, sau khi học xong phần diện tích hình tam giác các em áp dụng làm

một số bài tập đơn giản như sách giáo khoa, tôi đã cho học sinh lớp bồi dưỡng

khảo sát qua một số bài tập nhỏ (trong thời gian 40 phút) như sau:

Bài 1: (30. điểm): Nêu tên cạnh đáy và đường cao tương ứng trong mỗi

hình tam giác.

D

A

M

I

K

S

T

E

G

L

P

B

H

C

N

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Q

Bài 2: (2.0 điểm): Cho hình thang vuông

A

B

ABCD (xem hình vẽ) có AB = 12cm, DC = 15cm,

AD = 13cm. Nối D với B được hai tam giác ABD và

BDC.

a) Tính diện tích mỗi tam giác đó?

D

C

b) Tính tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác

ABD và diện tích hình tam giác BDC.

A

Bài 3 (2,5 điểm): Cho hình tam giác ABC có

diện tích 24cm². Nếu kéo dài đáy BC thêm một đoạn

dài 2cm thì diện tích tăng thêm là bao nhiêu? Biết

24cm²

B

8cm

2cm

C

D

3

đáy hình tam giác ban đầu là 8cm

A

Bài 4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC. Trên

1

cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho BD  DC. Nối A

2

M

với D. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho

B

C

1

D

DM  AD.

3

Tính diện tích tam giá ABC biết diện tích tam giác

BMD = 4cm².

Sau 40 phút làm bài, kết quả thu được từ học sinh như sau:

Yếu

SL TL SL

0% 13 43,34% 17 56,66%

TB

Khá

Giỏi

Số học sinh

khảo sát

30

TL

SL

TL

SL TL

0

0%

Qua chấm bài khảo sát, kết quả cho thấy:

* Ở bài 1: Hình 1 và hình 2 cả 30 em đều tìm đúng và đủ các cạnh và

đường cao tương ứng với cạnh đấy. Nhưng sang hình 3 phần lớn các em chỉ tìm

được cạnh đáy MP và đường cao tương ứng với nó NT còn đường cao ML

tương ứng với cạnh đáy PN và đương cao PQ tương ứng với đáy MN thì rất ít

em làm được.

* Ở bài 2 cả 30 em đều làm theo đúng đáp số chiếm tỷ lệ 100%.

Tuy nhiên cả 30 em đều làm theo một cách đó là áp dụng công thức để

thay số và tính, không em nào biết cách dùng tỉ số hai đáy để tính như:

Dienj tích tam giác ABD là: 12 x 13 : 2 = 78 ( cm²)

Diện tích tam giác ABD và BDC có chiều cao bằng nhau (bằng chiều cao

hình thang)

4

Tỷ số hai đáy AB và DC là: 12:15 =

5

4

Vậy tỷ số diện tích của hai tam giác ABD và BDC là

5

4

Diện tích tam giác BDC là 78: = 97,5 (cm²)

5

Tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và diện tích tam giác

BDC là:

4:5 = 0,8

0,8 = 80%

4

* Ở bài tập 3, phần lớn các em tìm ra đáp số nhưng nhiều em lý luận chưa

chặt chẽ. Cũng như ở bài 1 các em chưa biết tìm diện tích phần mở rộng bằng

cách dựa vào tỉ số độ dài hai đáy.

* Sang bài tập 4 đa số các em vẽ hình đúng, đẹp và chính xác nhưng

không có em nào tính được diện tích tam giác ABC bởi vì để giải được bài này

thì đòi hỏi các em phải nắm vững mối quan hệ giữa các yếu tố trong một tam

giác đáy (đáy, chiều cao tương ứng với đáy và diện tích).

Ta thấy trong thực tiễn dạy toán, không phải bài toán nào cũng ở dạng

tường minh như bài tập 2 và 3 chỉ cần dựa vào công thức là tính ngay được kết

quả. Đặc biệt là trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh năng khiếu, để đáp ứng

được nhu cầu học tập của học sinh, giáo viên phải sưu tầm, thiết kế những bài

toán nâng cao hơn, khái quát hơn thường những bài toán được “ngụy trang “ bởi

những điều kiện chưa tường minh. Bởi vậy sẽ không tránh khỏi những vướng

mắc, khó khăn nếu giáo viên không có phương pháp giúp học sinh nắm vững

mối quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác.

Trong quá trình nghiên cứu và qua thực tế giảng dạy nhiều năm, đặc biệt

là qua hai năm thực hiện chương trình thay sách lớp 5 tôi thấy khó khăn nhất khi

dạy các toán về tam giác vẫn là những trường hợp sau đây.

- Trường hợp 1: Vẽ đường thẳng để chia tam giác đã cho thành các phần

theo một tỉ lệ diện tích nào đó.

+ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, qua đỉnh A vẽ một đường thẳng cắt cạnh

1

BC tại điểm D sao cho diện tích tam giấc ABD bằng diện tích tam giác ADC.

5

+ Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Hãy kẻ một đường thẳng cắt hai cạnh của

tam giác để chia tam giác ABC thành hai phần sao cho diện tích phần này bằng

1

diện tích phần kia.

8

- Trường hợp 2: Tính diện tích tam giác khi chưa biết độ dài cạnh đáy và

chiều cao của nó. Để tính được diện tích hình này phải dựa vào diện tích và tỉ lệ

giữa độ dài đáy và chiều cao của tam giác khác.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có diện tích 780cm². Trên cạnh AB lấy điểm

E sao cho AE = 3BE. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = 3AD. Nối BD và

CE cắt nhau tại I.

a) So sánh diện tích hai tam giác ABD và BCE

5

b) Tính diện tích tam giác BEL.

(Đề thi tuyển vào trường THCS Cao Xuân Huy năm học 2006 – 2007).

Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 540 cm²Trên cạnh AB

1

lấy hai điểm M và N sao cho AM = AB; AN = AB; CM cắt DN ở O.

3

a) Tính diện tích tam giác MBC.

b) Tính diện tích tam giác OMN.

2

( Đề thi tuyển vào trường THCS Cao Xuân Huy năm học 2007 - 2008).

Với những ví dụ trên làm thế nào để vẽ được tam giác có diện tích theo tỷ

lệ đã cho hay làm sao để tính được diện tích của một tam giác khi mà ta chưa

biết độ dài cạnh đáy cũng như chiều cao của nó. Căn cứ vào mối quan hệ nào để

vẽ được, tính được những trường hợp như thế ?

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Như chúng ta đã biết, muốn bồi dưỡng học sinh giỏi chúng ta phải bồi

dưỡng theo từng mạch kiến thức, bồi dưỡng theo từng dạng chứ không lan man

nhiều mạch kiến thức gặp dạng nào làm dạng đó như vậy khó dạy sâu và học

sinh khó tư duy. Muốn nâng cao một dạng nào đó chúng ta phải củng cố kiến

thức cơ bản thật chắc. Học sinh phải nắm được phương pháp giải, quy trình giải,

công thức tính. Để học sinh nắm sâu hơn ta phải dùng hệ thống câu hỏi để kiểm

tra xem thử các em đã nắm chắc chưa hay là chỉ là làm theo công thức và làm

theo bài mẫu chứ chưa hiểu rõ vấn đề cốt lõi của nó. Sau khi học sinh đã nắm

chắc kiến thức thì giáo viên dựa trên nền kiến thức cơ bản đó để mở rộng và

nâng cao theo từng mạch kiến thức để từ kiến thức này phát triển lên kiến thức

kia. Khi đã rút ra được một số kết luận mới giáo viên phải tổng quát hóa bài toán

để học sinh dễ nhớ và hiểu hơn. Từ những bài toán cơ bản, giáo viên thiết kế,

sáng tác thêm những bài toán có nội dung phong phú hơn, mở rộng và nâng cao

dần để các em giải. Đối với những em thật sự giỏi, giáo viên khuyến khích học

sinh tự ra đề rồi giải. Có như vậy mới phát huy hết năng lực tiềm ẩn ở học sinh,

khơi dậy sự tò mò ham thích học tập ở các em.

Trở lại với dạng toán diện tích hình tam giác ở trên. Để giúp các em vẽ

được, tính được diện tích tam giác trong các trường hợp trên, cũng như giúp học

sinh hiểu sâu và vận dụng làm tốt những bài toán trong các trường hợp tương tự

tôi đã sử dụng một số biện pháp sau:

6

- Thông qua một số hình vẽ hướng dẫn các em xác định đúng các yếu tố

của tam giác (cụ thể là đáy và chiều cao tương ứng với đáy).

- Từ những ví dụ cụ thể giúp học sinh tìm ra mối quan hệ các yếu tố của

tam giác (đáy, chiều cao tương ứng với đáy và diện tích).

- Vận dụng hiểu biết mối quan hệ đó để thực hành một số bài toán liên

quan.

Cụ thể:

1. Củng cố về cách xác định đáy và kẻ đường cao tương ứng với đáy

thông qua một số hình vẽ:

- Trước hết phải cho học sinh nhắc lại cách

A

xác định đáy và vẽ đường cao tương ứng với đáy.

Sau đó giáo viên vẽ hình tam giác yêu cầu học sinh

xác định các đáy và dùng eke để vẽ các đường cao

B

C

của tam giác đó.

Hỏi: - Trong tam giác ABC nếu chọn BC làm đáy thì đỉnh đối diện với

đáy BC là đỉnh nào? (đỉnh A).

- Nếu chọn AC làm đáy thì đỉnh đối diện với cạnh AC là đỉnh nào? (đỉnh

B)

- Nếu chọn cạnh AB là đáy thì đỉnh đối diện với cạnh AB là đỉnh nào?

(đỉnh C).

Sau đó yêu cầu học sinh kẻ các đường cao tương ứng với các đáy AB,

AC, BC

Qua hình vẽ trên ta thấy cả 3 đường cao đều nằm trong tam giác. Vậy

đường cao nằm ngoài tam giác ta vẽ như thế nào?

Giáo viên vẽ tiếp tam giác MNQ lên bảng

Hỏi: Muốn vẽ đường cao tương ứng với đáy QN

M

ta phải xác định được cái gì? (đỉnh đối diện với đáy

QN đó là đỉnh M)

Giáo viên hướng dẫn dùng đường kẻ phụ: kéo

H

N

dài đáy QN về phía Q sau đó dùng eke để vẽ.

Q

Tiếp tục yêu cầu học sinh vẽ đường cao tương

ứng với đáy QM (kéo dài đáy QM một đoạn về phía Q

I

rồi dùng eke để vẽ).

7

* Qua hình vẽ trên ta thấy đường cao tương ứng với đáy QN và QM đều

nằm ngoài tam giác.

Vậy để vẽ được đường cao nằm ngoài tam giác ta phải chú ý điều gì?

(dùng đường kẻ phụ kéo dài đáy về một phía).

* Sau dó giáo viên tiếp tục vẽ thêm một số hình tam giác khác yêu cầu

học sinh kẻ đường cao tương ứng với đáy.

Bài tập: Vẽ đường cao BH cho mỗi tam giác sau:

B

A

C

B

C

* Sau khi học sinh nắm vững cách xác định đáy và chiều cao tương ứng

với đáy, giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh xác định những tam giác có cùng

chung đáy và những tam giác có chung chiều cao, thông qua một số bài tập sau:

Bài 1: Dựa vào hình vẽ em hãy cho biết AH là chiều cao của những tam

giác nào?

A

B

H

N

C

A

M

N

B

Bài 2: Cho hình vẽ sau:

Nêu tên những tam giác

có chung chiều cao MK.

Nêu tên những tam giác

có chung chiều cao CH.

H

I

K

D

C

Bài 3: Cho tứ giác ABCD, nối AC và BD cắt nhau tại E (xem hình vẽ)

B

Nêu tên những tam giác có chung cạnh đáy AC?

Nêu tên những tam giác có chung cạnh đáy BD?

Nêu tên những tam giác có chung cạnh đáy DE?

A

E

C

Nêu tên những tam giác có chung cạnh đáy EB?

Nêu tên những tam giác có chung cạnh đáy AE?

8

D

Nêu tên những tam giác có chung cạnh đáy EC?

* Sau khi học sinh xác định được những tam giác có chung đáy, có chung

chiều cao, để tính được diện tích các hình tam giác liên quan, giáo viên phải

giúp học sinh nắm được mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác (đáy, chiều

cao và diện tích).

2. Mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác.

Bài toán 1:

Tam giác ABC có đáy BC bằng 20cm và chiều

A

cao tương ứng với đáy là 8cm. Kéo dài đáy BC

8cm

thêm một đoạn CD 5cm nữa thì diện tích sẽ tăng

thêm là bao nhiêu?

B

H

20cm

5cm

C

D

Bài toán này được học sinh khá dễ dàng giải được.

Cách 1: Diện tích tam giác ABC là : (20 x 8) :2 = 80 (cm²)

Khi mở rộng đáy thêm 5cm thì phần mở rộng có dạng là một hình tam

giác và chiều cao phần mở rộng bằng chính chiều cao tam giác ban đầu (bằng

chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BD).

Độ dài đoạn BD là: 20 + 5 = 25 (cm)

Diện tích tam giác ABD là: 25 x 8 : 2 = 100 (cm²)

Diện tích tăng thêm là: 100 – 80 = 20 (cm²)

Đáp số : 20cm²

Cách 2: Chiều cao phần mở rộng chính bằng chiều cao tam giác ban đầu (

bằng chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BD).

Diện tích phần mở rộng là: 5 x 8 : 2 = 20 (cm²)

Đáp số: 20 cm²

Việc quan trọng ở đây là học sinh xác định được hai tam giác ABC và ACD có

chung chiều cao (chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BD).

Từ bài toán trên hỏi:

1

Em hãy so sánh đáy phần mở rộng và đáy phần tam giác ban đầu? (5:20 = )

4

Diện tích phần mở rộng so với diện tích hình tam giác ban đầu thì như thế

1

nào? (20:80 = )

4

9

Vậy khi hai tam giác có cùng chiều cao (chiều cao bằng nhau) thì độ dài

đáy và diện tích có quan hệ như thế nào? (cùng tăng hoặc cùng giảm)

Rút ra kết luận 1: Hai tam giác A và B có chiều cao bằng nhau (chung

chiều cao) thì:

Đáy tam giác A

Đáy tam giác B

Diện tích hình A

Diện tích hình B

=

Từ bài toán 1 ta có thể khai thác thêm một số bài toán khác mà thực chất

cũng là bài toán này song hình thức biểu hiện thì lại khác.

Hỏi: Nếu biết diện tích của một tam giác và tỉ số đáy của hai tam giác ta

có thể tính được diện tích tam giác kia không?

Ta có bài toán 2:

Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 80m². Người ta mở rộng đáy

1

thêm một đoạn bằng

đáy ban đầu thì diện tích tăng thêm là bao nhiêu? Biết

4

rằng sau khi mở rộng thì thửa ruộng vẫn là hình tam giác.

Hỏi: Tỉ số đáy tam giác phần mở

1

A

rộng và đáy ban đầu là bao nhiêu? ( )

4

Vậy tỉ số diện tích phần mở rộng

80cm²

và diện tích tam giác ban đầu là bao

1

B

C

D

nhiêu? ( ).

4

Dựa vào quan hệ tỉ lệ giữa đáy và diện tích tam giác nên các em dễ dàng

giải được.

Giải: Phần mở rộng là một hình tam giác có chiều cao bằng chiều cao tam

giác ban đầu.

1

4

Theo bài ra đáy của phần mở rộng bằng

đáy của thửa ruộng ban đầu

1

nên diện tích phần mở rộng bằng diện tích của thửa ruộng ban đầu.

4

1

Diện tích phần mở rộng là: 80 x =20 (m²)

4

Đáp số: 20m²

Từ bài toán 2 hỏi:

Nếu biết đáy của thửa ruộng ban đầu và tỉ số diện tích của phần mở rộng

với diện tích tam giác ban đầu ta có tính được đáy của phần mở rộng không?

10

Ta có bài toán 3:

Một thửa ruộng hình tam giác có đáy dài 20m. Người ta mở rộng đáy

thêm một đoạn để có diện tích phần mở rộng bằng 25% diện tích ban đầu. Tính

độ dài đáy phần mở rộng, biết rằng sau khi mở rộng thửa ruộng vẫn là hình tam

giác.

Hỏi: Tỉ số diện tích phần mở rộng và diện

A

tích thửa ruộng ban đầu là bao nhiêu? (25%)

Vậy tỉ số đáy của phần mở rộng và đáy

thửa ruộng ban đầu sẽ như thế nào? (cùng bằng

B

25%)

C

D

Dựa vào quan hệ tỉ lệ giữa đáy và diện tích, các em sẽ dễ dàng giải được.

Từ bài toán 3, hỏi:

* Nếu biết được độ dài đáy phần mở rộng và biết tỉ số diện tích tam giác

của phần mở rộng và diện tích tam giác ban đầu ta có thể tính độ dài đáy ban

đầu không?

Ta có bài toán 4:

Nhà bác An có một thửa ruộng hình tam giác. Nay do làm đường nên bị

xén vào thửa ruộng đó một phần đất hình tam giác (hình vẽ) có đỉnh là đỉnh của

1

thửa đất, diện tích bị xén vào bằng diện tích ban đầu.

5

Tính độ dài đáy của mảnh đất còn lại biết rằng mảnh đất bị xén đi có đáy

A

là 5m.

Từ hiểu biết về mối quan hệ giữa độ

dài đáy và diện tích, các em sẽ giải được.

B

C

Phần bị xén đi và phần đất còn lại có dạng là một hình tam giác. Ta xem

đáy tam giác đó là 5m thì chiều cao sẽ bằng chiều cao phần đất còn lại (bằng

chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BC).

D

1

Theo bài ra phần đất bị xén đi bằng diện tích ban đầu hay bằng diện

5

4

tích đất còn lại.

1

Do đó đáy của phần đất bị xén đi bằng đáy của phần đất còn lại.

4

11