SKKN Phương trình bậc cao

PHẦN THỨ NHẤT

ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong các môn học ở phổ thông, môn toán giữ một vị trí quan trọng. Qua

việc học toán học sinh được rèn luyện về mọi mặt như: trí thông minh,

phương pháp tính toán hợp lý, nhanh gọn, tạo cho bộ óc làm việc ngăn nắp, có

kế hoạch. Từ cuộc sống hàng ngày của con người như : cân đo, đong

đếm,…cho đến các ngành công nghiệp phát triển đều rất cần đến toán học.

“ Giáo dục là quốc sách hàng đầu, nhiệm vụ của ngành giáo dục là nâng

cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Việc bồi dưỡng học sinh

giỏi là một trong những công tác mũi nhọn của ngành Giáo dục và Đào tạo nói

chung, của từng cơ sở nói riêng nên việc phát triển bồi dưỡng học sinh giỏi

nuôi dưỡng nhân tài là một việc làm thường xuyên, liên tục. Môn toán là một

trong những bộ môn thường xuyên tổ chức thi học sinh giỏi nên đòi hỏi từng

cơ sở phải xây dựng được đội ngũ học sinh giỏi cho đơn vị mình. Với tâm

huyết nghề nghiệp tôi luôn cố gắng phấn đấu để đào tạo và bồi dưỡng ngày

càng nhiều học sinh giỏi các cấp bằng cách đi sâu nghiên cứu và giúp các em

nắm chắc, sâu từng phần từng nội dung trong chương trình toán lớp 9. Phương

trình bậc cao là một đề tài hấp dẫn, thú vị của toán học, vì vậy phương trình

bậc cao đã được rất nhiều nhà toán học nghiên cứu. Tuy nhiên, với người học

thì giải phương trình bậc cao là một vấn đề khó. Sau nhiều năm giảng dạy

môn Toán ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy mảng giải phương trình bậc cao

được đưa ra ở sách giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lược,

mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi,

trong chương trình học lại không có một bài học cụ thể nào. Bên cạnh đó là

các nội dung bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Các

phương trình bậc cao là một nội dung thường gặp trong các kỳ thi ở Bậc

THCS và đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào THPT. Chính vì vậy tôi

quyết định chọn chủ đề: ''phương trình bậc cao '' làm sáng kiến cho riêng

Trang 1

mình, để giúp các em tìm hiểu được nhiều hơn về phương pháp giải, cách giải

đối với các dạng phương trình bậc cao.

PHẦN THỨ HAI

NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN

I. CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỀ XUẤT RA SÁNG KIẾN

Trong chương trình toán học trung học cơ sở và trong các đề thi chúng ta

vẫn thường gặp các bài toán về giải phương trình bậc 3,4,5..hoặc phân tích các

phương trình đó thành nhân tử, song với học sinh vẫn còn lúng túng vì không

biết bắt đầu từ đâu, khi gặp khó khăn không biết làm thế nào để tìm ra lời giải.

Riêng với các em học sinh khi gặp dạng toán này không chịu nghiên cứu khảo

sát kĩ từng dạng phương trình theo nhiều cách hoặc sử dụng thiếu linh hoạt.

Xuất phát từ vấn đề trên và qua việc giảng dạy môn toán ở trường THCS ,

qua đọc tài liệu tham khảo và đặc biệt qua việc bồi dưỡng cho đội tuyển học

sinh giỏi ở khối 9. Tôi nhận thấy rằng giải một phương trình bậc 3,4,5.. là

tương đối khó đối với học sinh THCS và đặc biệt hơn nữa các phương pháp

giải phương trình đó không hề có trong chương trình toán THCS do đó đã gây

khó khăn không nhỏ đối với học sinh trong khi gặp phải dạng toán này. Học

sinh không có một phương pháp cụ thế nào mà chỉ biết mò mẫm một cách vô

hướng.

Khi được tiếp xúc với các dạng phương trình bậc cao không những rèn

luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng

các môn học khác ở trường THCS .Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào

thực tế, còn góp phần rèn luyện cho HS những đức tính cẩn thận ,sáng tạo…

Dựa vào hiểu biết, vốn kiến thức và thu thập qua tài liêu, sách báo tôi xin

đưa ra một số phương pháp mà tôi cho là phù hợp với học sinh THCS để giải

các dạng phương trình .

Trang 2

II.KIẾN THỨC CƠ BẢN TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH :

1. Các định nghĩa :

1.1 Định nghĩa phương trình :

Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x. Khi nói A(x) =

B(x) là một phương trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị

tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau.

Biến x được gọi là ẩn.Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm.

Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình. Mỗi biểu thức gọi là một vế

của phương.

1.2. Tập xác định của phương trình :

Là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa.

1.3. Định nghĩa hai phương trình tương đương :

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.

1.4. Các phép biến đổi tương đương :

Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình đã cho thành những

phương trình tương đương với nó ( nhưng đơn giải hơn). Phép biến đổi như

thế được gọi là phép biến đổi tương đương.

2. Các định lý biến đổi tương đương của phương trình :

a) Định lý 1 :Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một

phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã

cho.

Ví dụ : 2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 +5x.

Chú ý : Nếu cộng cùng một biểu thức chứa ẩn ở mẫu vào hai vế của

một phương trình thì phương trình mới có thể không tương đương với

phương trình đã cho.

Ví dụ : x -2 (1) Không tương đương với phương trình

1

x  2 



x  2 x  2

Trang 3

Vì x = 2 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2)

* Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một

phương trình được một phương trình mới tương đương với phương trình đã

cho.

Ví dụ : 8x -7 = 2x + 3 <=> 8x- 2x = 7 + 3

* Hệ quả 2 :Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương

trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

Ví dụ :

-9 - 7x = 5 ( x +3) -7x <=>

-9 = 5 x ( x + 3)

* Chú ý : Nếu nhân hai vế của một phương trình với một đa thức của ẩn

thì được phương trình mới có thể không tương đương với phương trình đã

cho.

b) Định lý 2:Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình

thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

1

2

3

4

Ví dụ :

x²- 3x =



2x²- 12x = 3 ( Nhân hai vế với 4 )

III/ NHỮNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:

1.Phương trình bậc nhất một ẩn :

Phương trình có dạng ax + b = 0, với a, b là những hằng số; a 0 được

gọi là phương trình bậc nhất một ẩn số, b gọi là hạng tử tự do.

Cách giải :

- Phương trình tổng quát : a x+b=0 (a#0) (1)

- Dùng phép bién đổi tương đương , Phương trình (1) trở thành :

a x=-b x=-b/a

 b

a

Phương trình này có nghiệm duy nhất : x=

(a 0)



Trang 4

2. Phương trình bậc cao:

2.1. Phương trình bậc hai một ẩn :

Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng

ax²+ bx + c = 0; trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a  0.

*Cách giải:

*Ta dùng các phép biến đổi tương đương ,biến đổi phương trình

đã cho về các dạng phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc

nhất ,phương trình dạng tích ) để tìm nghiệm của phương trình

*Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai

a x²+b x +c=o (a

phương trình: =b²- 4ac, Vì biểu thức



0)Cần đặc biệt quan tâm tới biệt số

= b²- 4ac quyết định nghiệm

số của phương trình bậc hai .Ta thấy có các khả năng sau xảy ra :



của



a ,

b ,



<0  phương trình bậc hai vô nghiệm

=0  phương trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng

 b

2a

nhau): x₁=x₂=

c ,



>0  phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

 b  

2a

 b  

2a

x =

;

x₂=

1

*Chú ý :

- Nếu a và c trái dấu , nghĩa là a.c<0 thì phương trình bậc hai có 2

nghiệm phân biệt (vì ac<0 =>b²-4ac >0 hay

>0 )



- Đối với một số phương trìnhbậc hai đơn giản (với hệ số nguyên )

trong trường hợp có nghiệm ( 0 ) ta có thể dùng địnhlí Vi ét để tính nhẩm

nghiệm

Định lí Viét : Nếu phương trình bậc hai a x ²+ bx +c = 0 (1) ( a 0 ) có

hai nghiệm là : x₁, x₂thì tổng và tích hai nghiệm là

Trang 5

 b

a

c

S =x₁x₂

Cách nhẩm nghiệm :

=

P=x₁x₂

=

a

c

+ Nếu a+b+c =0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x₁ 1;x₂

+ Nếu a-b+c=0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x ₁ 1;x₂

a

 c

a

- Nhờ có đình lí Vi ét mà ta có thể tìm được nghiệm của các phương trình

có dạng đặc biệt . Ngoài ra chúng ta cũng có thể làm được một số bài

toán biện luận về số nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ : Giải các phương trình sau

a , 3x²+5x +7 = 0

Vậy phương trình vô nghiệm

b ,

5 x²+2 10 x +2 = 0



= 25 – 4. 3 . 7 =25 - 84 =- 61 <0



= (2 10 )²-4.5.2 =0

 b  10

nên phương trình có nghiệm kép

c , 3x²+5x - 1 = 0

= 5²- 4 . 3 .(-1) =25+12 =37 >0

x₁=x₂=

=

2a

5



 5  37

 5  37

Vậy PT có hai nghiệm là :

d/ Giải phương trình

x₁=

;

x₂=

6

x²-3x +6

1

=

(1)

x²9

x  3

-Phân tích các mẫu thành nhân tử phương trình trở thành

x²-3x +6

1

=

TXĐ : x +3



0

hay x



3và x



-3

(x 3)(x  3) x  3

x-3

0

MTC : (x-3)(x+3)

-Khử mẫu ta được phương trình x ²-3x +6 =x+3

- Chuyển vế :  x ²-3x +6-x-3=0x²-4x +3 =0(2) a+b+c= 1+(-4) +3 =0

c

Nên x₁=1 ; x₂= =3 là hai nghiệm của phương trình trung gian

a

Trang 6

Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2) có

thuộc TXĐ của (1) hay không ?

ở đây ta nhận thấy x₁=1 thoả mãn điều kiện

x ₂=3 không thoả mãn điều kiện

-Do đó ta mới kết luận nghiệmcủa (1) là x=1

*Nhận xét :

-Những phương trình được trình bày ở trên là dạng phương trình gặp nhiều

-Khi giải các phương trình này ta cần chú ý những vấn đề sau :

+ Tìm TXĐ của phương trình

+ Sau khi giải được kết quả cần so sánh kết quả và kết luận nghiệm

( loại bỏ những nghiệm của phương trình trung gian không nằm trong miền

xác định )

* Bài luyện tập:Giải các phương trình :

a ,3(x²+x) -2(x²+x ) -1= 0 ,

b, 5x²- 7x = 0

x  5 x  3

5

3

2x

x2  x  8

c.







d,



3

5

x  3 x  5

x 1 (x 1)(x  4)

3x

2x

e,



 1

x2  x  3 x2  x  3

2.2. Phương trình bậc ba

a x³+bx²+cx =d =0

( trong đó x là ẩn ; a,b,c,d là các hệ số ;a



0 )

* Cách giải :

-Để giải một phương trình bậc ba ta thường biến đổi về phương trình tích .Vế

trái là tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai , vế phải bằng 0 .

Muốn làm tốt việc này cần đồi hỏi HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành

nhân tử một cách thành thạo

*Ví dụ : giải phương trình

2x³+7x²+7x + 2=0

Giải

Phân tích vế trái thành nhân tử ta có

Trang 7

VT = (2x³+ 2) + (7x²+7 )= 2(x³+1) + 7x (x+1)

= 2(x+1)(x²–x +1) +7x(x+1)= (x+1)[2(x²-x +1) +7x ]

= (x+1) (2x²+5x +2)

Vậy phương trình đã cho  (x+1) (2x²+5x +2) =0



x +1 =0

(2x²+5x +2) =0 (3)

(2) 

x₁=-1

1

2

x ₂=-2 ; x₃= -

1

2

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x₁=-1 ; x ₂=-2 ; x₃= -

*Nhận xét :

Khi giải một phương trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng quát mà

chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về

dạng phương trình tích

- Chú ý : tính chất của phương trình bậc ba : a x³+bx²+cx =d =0 ( a

+Nếu a+b+c +d =0 thì phương trình có một nghiệm x=1

+Nếu a-b+c-d =0 thì phương trình có một nghiệm x= -1



0 )

Khi đã nhận biết được một nghiệmcủa phương trình ta dễ dàng phân tích vế

trái thành nhân tử

- Phương trình : a x³+bx²+cx =d =0 ( a



0 ) với các hệ số nguyên . Nếu có

nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hạng tử tự do (đ/l sự

tồn tại nghiệm nguyên của phương trình nghiệm nguyên )

- Nếu phương trình : a x³+bx²+cx =d =0 ( a



0 ) có 3 nghiệm x₁; x₂; x₃

Thì 3 nghiệm đó sẽ thoả mãn các điều kiện sau:

b

c

d

a

x₁+x₂+x₃= - ;

x₁x₂+ x₂x₃+x₁x₃= ;

x₁x₂x₃= -

a

* Bài luyện tập:Giải các phương trình :

a, 2x³- 5x²- 3x = 0;

b, x³- 7x + 6 = 0;

c, x³- 5x²+ x + 5 = 0

d, x³- 13x²- 42x - 36 = 0

f, 3x³- 7x²+ 17x - 5 = 0

Trang 8

2.3. Phương trình bậc 4 :

Phương trình bậc 4 dạng : a x⁴+ bx ³+ cx²+ dx +e =0

Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; ( a



0 )

Một phương trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc hai

2.3.1. Phương trình tam thức bậc 4 (Phương trình trùng phương )

Phương trình trùng phương có dạng tổng quát : a x⁴+bx ²+c=0 (1)

Trong đó x là ẩn ; a , b ,c là các hệ số ; ( a



0 )

*Cách giải :

Khi giải phương trình này ta dùng phương pháp đổi biến

x ²=t (t

0) (2)



Khi đó phương trình (1) dưa được về dạng phương trình bậc hai trung gian

a t²+b t +c =0 (3)

Giải phương trình (3) rồi thay giá trị của t tìm được ( với t



0) vào (2) ta

được phương trình bậc ha với biến x giải phương trình này ta tìm được

nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu

*Ví dụ : Giải phương trình sau: 4x ⁴- 109x²+ 225 =0 (1)

Giải

Đặt x ²=t (t 0) phương trình (1) trở thành 4t²– 109t +225=0(2)

9

Giải phương trình (2) được nghiệm là t₁= ; t₂=25

4

Cả hai nghiệm của phương trình (2) đều thoả mãn điều kiện t



0

9

Với t₁= ta có x ²= => x₁=3/2 ; x₂= -3/2

+

4

+ Với t₂=25 ta có x²= 25 => x₃=5 ; x₄=-5

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là : x₁=3/2 ; x₂= -3/2 ; x₃=5 ; x₄=-5

* Nhận xét :

- Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương (1) ta thấy :

- Phương trình vô nghiệm khi :

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm .

Trang 9

+Hoặc phương trình bậc hai trung gian có cùng hai nghiệm âm .

- Phương trình trùng phương có hai nghiệm khi :

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép dương .

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm trong đó có một

nghiệm âm và một nghiệm dương .

- Phương trình trùng phương có 3 nghiệm khi phương trình bậc hai có 2

nghiệm trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0.

- Phương trình trùng phương có 4 nghiệm khi phương trình hai trung gian có

hai nghiệm dương phân biệt .

* Bài luyện tập:Giải các phương trình :

a, 4x⁴+ x²- 5 = 0

b, 3x⁴+ 4x²+ 1 = 0

c, 5x⁴+ 2x²- 16 = 10 - x²

d, 9x⁴- 10x²+ 1 = 0

2.3. 2. Phương trình hệ số đối xứng bậc 4

a x⁴+ bx ³+ cx²+ dx +e =0

(Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a



0 )

- Đặc điểm : ở vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu

và số hạng cuối thì bằng nhau

* Ví dụ : Giải phương trình sau

10 x⁴-27x³- 110x²-27x +10=0 (1)

Ta nhận thấy x=0 không phảI là nghiệm của (1)

27 10

Do đó chia cả hai vế (10 cho x²ta được 10x²-27x – 110 -



= 0

x

x²

Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được

1

x²

1

x²

10( x²+ )  (x  ) -110 =0(2) Đặt ẩn phụ (x+ ) =t (3) => x²+ =t²-2

x)

x

thay vào (2) ta có: 10t²-27t -130=0 (4)

5

2

26

5

Giải (4) ta được

t₁=-

; t ₂=

Trang 10

5

1

5

+ Với t₁=- (x+ ) =-  2x²+5x+2=0 có nghiệm là x₁=-2 ; x₂=-1/2

2

x

2

26

5

1

26

5

+Với ; t ₂=

 (x+ ) =

 5x²-26x+5 =0 có nghiệm là x₃=5 ; x₄=1/5

x

1

2

1













Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là S=

;2; ;5

5

* Nhận xét :

- Về phương pháp giải gồm 4 bước

+Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1)

cho x²rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng

nhóm ta được phương trình (2)

1

x²

+Đặt ẩn phụ :

(x+ ) =t (3) => x²+ =t²-2 thay vào (2)

x

+Giải phương trình đó ta được t .

+Thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)

1

- Về nghiệm số của phương trình: x₀là nghiệm của (1) thì

cũng là

x₀

nghiệm của nó

(ví dụ trên : -2 là nghiệm và -1/2 là ngịch đảo của nó cũng là nghiệm ;5

và 1/5là nghịch đảo của nhau)

* Bài luyện tập: Giải các phương trình :

a, x⁴- 7x³+ 14 x²- 7x + 1 = 0; b. x ⁶+ 3x⁵- 30x⁴- 29 x³- 30 x²+ 3x + 1 = 0

c, x⁵- 5x⁴+ 4x³+ 4x²- 5x + 1 = 0 d, x⁴- 3x³- 6x²+ 3x + 1 = 0

e, x⁴+ 3x³- 14 x²- 6x + 4 = 0

2.3 .3.Phương trình hồi quy :

Phương trình bậc 4 dạng : a x⁴+ bx ³+ cx²+ dx +e =0 (1) Trong đó x

c

d

là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a



0 và

 ( )²; ( c



0)

a

b

Trang 11