SKKN Phương pháp dạy học sinh phân tích đa thức thành nhân tử

MỤC LỤC

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN………………………………….……………..

II. PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN SÁNG KIẾN……………..……….

III. MỤC TIÊU……………………………………………………….

CHƯƠNG II: MÔ TẢ SÁNG KIẾN

Trang 1

Trang 2

Trang 3

Trang 4

Trang 4-16

Trang 16

Trang 17

Trang 18

I. NÊU VẤN ĐỀ CỦA SÁNG KIẾN

1. Phân tích, đánh giá thực trạng vấn đề……………………….……

2. Chỉ ra các tồn tại, hạn chế ………………………………………..

3. Nguyên nhân của những tồn tại, hạn chế đó………………..…….

4. Phân tích, đánh giá và chỉ ra tính cấp thiết cần tạo ra Sáng kiến

II. GIẢI PHÁP ĐỂ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN

III. KẾT QUẢ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG, NHÂN RỘNG

IV. GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN

CHƯƠNG III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ/ ĐỀ XUẤT

TÀI LIỆU THAM THẢO

1

KINH NGHIỆM

“Phương pháp dạy học sinh phân tích đa thức thành nhân tử’’

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN

I. CƠ SỞ LÍ LUẬN

Ở trường phổ thông môn Toán là môn học chính, môn học cơ sở, là công

cụ cho các môn học khác và giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán

học. Các bài toán trong chương trình phổ thông là một phương tiện đem lại hiệu

quả cao và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức,

phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng và biết ứng dụng toán học vào thực

tiễn. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc rèn cho học sinh có kỹ năng giải bài tập

toán có vai trò quyết định trong việc nâng cao chất lượng học tập của học sinh.

Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú,

phong phú, đa dạng và không đơn giản đối với học sinh THCS. Nội dung này

được đưa vào chương trình toán 8, nhưng thật ra các em đã được đề cập đến từ

trước với dạng bài toán ngược áp dụng tích chất phân phối của phép nhân đối

với phép cộng trên các tập hợp số. Với lượng thời gian phân phối chỉ có 6 tiết từ

tiết 9 đến tiết 14 song nội dung này là cơ sở vận dụng cho các chương sau và lớp

sau trong các phần: “ Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu số các phân thức, biến

đổi các biểu thức hữu tỉ, giải phương trình,…”

Vì vậy. vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa

thức thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để

thực hiện tốt điều này đòi hỏi người giáo viên phải xây dựng cho học sinh những

kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán và đặt biệt là kỹ năng giải

toán, vận dụng bài toán. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên xây

dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học, đồng thời phải

mở rộng thêm các cách giải khác nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ môn của

học sinh.

II. PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN TẠO RA SÁNG KIẾN

1. Đọc tài liệu:

2

Tham khảo tài liệu chuyên môn có liên quan:

+ Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập, vở bài tập.

+ Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông.

+ Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán.

+ Đổi mới phương pháp dạy học toán.

+ Tổng hợp kiến thức Toán 8 THCS.

+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8.

Chọn lọc kiến thức phù hợp với đơn vị. Học hỏi các giải pháp hay đã áp

dụng để tích lũy kinh nghiệm.

2. Điều tra:

a. Dự giờ:

Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ.

Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ. Qua đó, tôi luôn chú ý đến

phương pháp giảng dạy cũng như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đó

giúp tôi tích lũy một số kinh nghiệm và hiệu quả của việc đổi mới phương pháp

dạy học.

b. Đàm thoại:

Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm ra các

nguyên nhân học sinh chưa có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở

từng dạng toán cụ thể. Xem học sinh hỏng kiến thức nào, phần nào học sinh

chưa biết cách trình bày để có biện pháp xử lí kịp thời.

Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhà trường cùng bàn biện

pháp nâng cao chất lượng, tìm hiểu những nguyên nhân học sinh học yếu ở các

lớp khác.

c. Thăm dò:

Nắm lại tình hình chất lượng môn Toán lớp 8A1 trong năm học trước.

Tổng số: 37 học sinh. Trong đó:

GIỎI

TL%

KHÁ

TL%

TRUNG BÌNH

YẾU

TỔNG SÔ

SL

TL%

SL

TL%

37

4

10.8

10

27

20

54

3

8.2

3

Tìm hiểu trong năm học này, giáo viên lập danh sách học sinh yếu, tìm

hiểu nguyên nhân học sinh yếu bằng phương pháp vấn đáp, kiểm tra phân loại

học sinh yếu. Từ đó tìm biện pháp khắc phục phù hợp đối với từng đối tượng

học sinh

3. Thực nghiệm:

Toán học là một môn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực

hành ngay tại lớp, để thực hiện được điều đó giáo viên phải giúp học sinh cũng

cố kiến thức ngay tại lớp qua các bài tập và các ?/SGK nhằm giúp các em nắm

vững các kiến thức cơ bản một cách sâu sắc từ đó hình thành kĩ năng giải toán

cho học sinh. Đồng thời giáo viên phải chú trọng bước hướng dẫn học sinh tự

học ở nhà để học sinh củng cố lại kiến thức đã học và vận dụng giải các bài tập

ở nhà tạo thói quen tự học cho học sinh.

Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình,

khá, giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng. Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích

hợp cho từng đối tượng học sinh.

III. MỤC TIÊU

Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân

tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt

dạng toán này.

Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức.

Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh.

Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải

toán để từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh.

CHƯƠNG II: MÔ TẢ SÁNG KIẾN

I. VẤN ĐỀ CỦA SÁNG KIẾN

1. Phân tích, đánh giá thực trạng vấn đề:

Toán học là một môn khoa học nếu học giỏi toán thì sẽ có điều kiện để

học tốt các môn khác. Tuy nhiên toán học đặc trưng là môn học tự nhiên rất khó

học vì vậy không phải học sinh nào cũng hiểu, cũng học tốt được toán.

Trong chương trình Đại số 8, dạng toán phân tích đa yhức thành nhân tử

4

là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú đa

dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều

phân thức, giải phương trình,…

Qua quá trình giảng dạy, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra,

bài thi của học sinh lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó,

nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được. Do học sinh

còn yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải

toán... nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải

quyết thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào

sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất.

2. Tồn tại, hạn chế:

Thực tế qua giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy bên cạnh một số học

sinh học rất tốt về toán, các em vững kiến thức giải thành thạo các bài toán ở

sách giáo khoa, còn giải được các bài toán dạng nâng cao. Nhưng vẫn còn một

số em học toán còn chậm, tiếp thu kiến thức còn hạn chế, khi thực hành tính

toán còn nhầm lẫn, không chính xác. Khi thực hiện việc áp dụng hằng đẳng

thức để phân tích đa thức thành nhân tử còn nhầm lẫn , chậm chạp chưa phân

biệt được phương pháp vận dụng cũng như lựa chọn được phương pháp phù hợp

để phân tích đa thức ra nhân tử. Cụ thể kết quả khảo sát trước khi áp dụng sáng

kiến của lớp 8a1 năm học 2018 – 2019 như sau:

Sĩ số học sinh

Số học sinh giải được

Số học sinh chưa giải được

Số lượng

Tỷ lệ (%)

Số lượng

Tỷ lệ (%)

35

16

45,71%

19

54,29%

Cho thấy số học sinh chưa thực hiện được phép phân tích đa thức thành

nhân tử khá cao so với sĩ số học sinh của mỗi lớp. Ở lớp 8 nếu các em không

nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử, không thực hành thành thạo

phân tích đa thức thành nhân tử thì các em sẽ gặp khó khăn khi học chương phân

thức đại số và giải phương trình sau này. Mà khi đã đi qua rồi khó mà quay lại

để lấp lại kiến thức đã bị hổng.

5

3. Nguyên nhân của tồn tại hạn chế:

Qua tìm hiểu nguyên nhân tôi nhận thấy rằng do học sinh lớp 8 có một

đặc tính tâm lý là nhanh nhớ nhưng chóng quên. Có khi ngay tại lớp các em nhớ

cách phân tích đa thức ra nhân tử nhưng sau vài ngày kiểm tra lại các em đã

quên gần hết (nếu các em không được ôn luyện thường xuyên).

Do học sinh chưa nắm vững các phương pháp giải, chưa vận dụng kỹ

năng biến đổi một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể.

4. Tính cấp thiết của sáng kiến:

Đứng trước thực trạng trên là một giáo viên giảng dạy toán, tôi nhận thấy

bên cạnh việc trang bị vốn kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của mình

thì cũng cần phải thường xuyên nghiên cứu tìm ra phương pháp dạy học thích

hợp để chất lượng giảng dạy ngày càng được nâng cao nhằm giảm bớt số lượng

học sinh yếu kém, nâng cao số lượng học sinh khá giỏi.

Vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Phương pháp dạy học

sinh phân tích đa thức thành nhân tử’’ ở lớp 8A1 trường THCS Văn Lang.

II. GIẢI PHÁP ĐỂ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN

1. Các kiến thức cơ bản có liên quan:

1.1.Tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng và quy tắc về

dấu để sử dụng trong phương pháp:

Đặt nhân tử chung: A.(B +C) = A.B+A.C

1.2. Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A+B)²=A²+2AB+B²

(A-B)²=A²-2AB+B²

A²-B²= (A+B)(A-B)

(A+B)³= A³+3A²B+3AB²+B³

(A-B)³= A³-3A²B+3AB²-B³

A³+B³= (A+B)(A²-AB+B²)

A³- B³= (A-B)(A²+AB+B²)

6

1.3. Định lý về nghiệm của đa thức:

* Nếu x₀là nghiệm của đa thức f(x) thì:

f(x) = (x - x₀) g(x)

* Đặc biệt: Nếu f(x) = ax²+ bx + c có 2 nghiệm x₁, x₂thì f(x) = ax²+ bx +

c = a (x- x₁) (x - x₂).

* Nếu đa thức có tổng các hện số bằng 0 thì chia hết cho: x - 1

* Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chắn bằng tổng các hệ số

của hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho: x + 1.

Ví dụ:

a. f(x) = x²- 3x + 2 = (x - 1) (x - 2).

b. f(x) = 2x²+ 5x + 3 = 2 (x + 1) (x+ 3/2).

2. Các phương pháp cơ bản đã thực hiện:

2.1. Các phương pháp cơ bản:

2.1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung:

Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.

Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi

hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).

Ví dụ: Phân tích thành tích: A = 5a²(b - 2c) - 15a (b - 2c)².

Ta biết: A = 5a (b - 2c) [a - 3 (b - 2c)]

= 5a (b - 2c) (a - 3a + 6c).

Chú ý: Một biểu thức bậc nhất không thể phân tích được nữa.

Ví dụ: B = 2x (y - z) + (z - y) (x + y).

Nhận xét: y - z = - (z - y).

Từ đó: B = 2x (y - z) - (y - z) (x + y)

= (y - z) [(2x - (x+ y)]

= (y - z) (x - y).

Ví dụ: C = x³- 2x²+ 2x

= x (x²- 2x + 2)

7

* Biểu thức: x²- 2x + 2 = (x - 1)²+ 1  1 > 0  x

nghĩa là đa thức x²- 2x + 2 không có nghiệm nên không thể phân tích được nữa.

2.1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

* Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.

* Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức:

Căn cứ vào bậc của đa thức cần phân tích là chẵn hay lẻ: nếu bậc chẵn thì

chọn nhóm công thức về bình phương còn nếu bậc lẻ thì chọn nhóm công thức

về lập phương bằng cách làm như thế có thể giúp học sinh loại trừ bớt một số

công thức không phù hợp.

Căn cứ vào số lượng hạng tử của đa thức cần phân tích : nếu đa thức cần

phân tích có hai hạng tử thì có thể dùng công thức hiệu của hai bình phương

hoặc tổng của hai lập phương hoặc hiệu của hai lập phương; nếu đa thức cần

phân tích có ba hạng tử thì có thể dùng công thức bình phương của một tổng

hoặc bình phương của một hiệu; nếu đa thức cần phân tích có bốn hạng tử thì có

thể dùng công thức lập phương của một tổng hoặc lập phương của một hiệu .

Bằng cách này cũng giúp học sinh loại trừ thêm các công thức không phù hợp

Căn cứ vào dấu “+” và dấu “-“ nối giữa các hạng tử nếu chỉ có dấu “+” thì

có thể chọn các công thức: bình phương của một tổng, lập phương của một tổng

hoặc tổng của hai lập phương; nếu chỉ có dấu “-“ nối các hạng tử thì chọn công

thức: hiệu của hai bình phương hoặc hiệu của hai lập phương; nếu dấu “-” xen

kẽ dấu “+” thì chọn công thức: bình phương của một hiệu hoặc lập phương của

một hiệu. Bằng cách này cũng giúp học sinh loại trừ thêm các công thức không

phù hợp.

* Tóm lại tôi chốt qui trình lựa chọn như sau:

Xét bậc đa thức

* Ví dụ:

xét số lượng hạng tử

xét dấu nối các hạng tử

Phân tích cac đa thức sau thành nhân tử:

8

2

1 ) x

2 ) x



4 x 

4

2



2

3

3 ) 1  8 x

3

2

4 ) x

 3 x

 3 x  1

2

5 ) ( x  y )

 9 x

(SGK- Trang 19-20)

- Đối với ví dụ 1 có thể hướng dẫn như sau:

Xét bậc đa thức là bậc 2 như vậy loại các công thức ở nhóm lập phương

chỉ còn xét 3 công thức ở nhóm bình phương là bình phương của một tổng, bình

phương của một hiệu và hiệu của hai bình phương

Xét số lượng hạng tử có thể loại công thức hiệu của hai bình phương chỉ

còn bình phương của tổng hoặc hiệu.

Xét dấu nối các hạng tử có thể loại công thức bình phương của một tổng

còn lại công thức bình phương của một hiệu là phù hợp.

- Đối với ví dụ 2 có thể hướng dẫn như sau:

Xét bậc đa thức là bậc 2 như vậy loại các công thức ở nhóm lập phương

chỉ còn xét 3 công thức ở nhóm bình phương là bình phương của một tổng, bình

phương của một hiệu và hiệu của hai bình phương

Xét số lượng hạng tử có thể loại công thức bình phương của tổng và hiệu

chỉ còn hiệu của hai bình phương là phù hợp.

- Đối với ví dụ 3 có thể hướng dẫn như sau:

Xét bậc đa thức là bậc 3 như vậy loại các công thức ở nhóm bình phương

chỉ còn xét 4 công thức ở nhóm lập phương là lập phương của một tổng, lập

phương của một hiệu, tổng của hai lập phương và hiệu của hai lập phương

Xét số lượng hạng tử có thể loại công thức lập phương của tổng và hiệu

chỉ còn hiệu của hai lập phương và tổng của hai lập phương.

Xét dấu nối các hạng tử có thể loại công thức tổng của hai lập phương còn

lại công thức hiệu của hai lập phương là phù hợp.

- Các ví dụ 4 và 5 còn lại tôi hướng dẫn tương tự theo qui trình như

trên để chọn ra công thức phù hợp.

9

Ví dụ: Phân tích thành tích: D = 4x²+ 12x + 9

* Nhận xét: D không có nhân tử chung nên ta viết:

D = (2x)²+ 2 (2x) .3 + 3²

Áp dụng: (b + a)²= a²+ 2ab + b²

Với a = 2x; b = 3 ta có:

D = (2x)²+ 2 (2x).3 + 3²= (2x + 3)²

Ví dụ : E = 1 - 8x⁶y³

Chú ý: ta viết 1 = 1²= 1³... = 1ⁿ

Khi đó E = 1³- (2x²y)³

Áp dụng: a³- b³= (a - b) (a²+ ab + b²)

E = (1 - 2x²y) (1 + 2x²y + 4x⁴y²)

Hướng dẫn thực hiện:

* Nếu đa thức không có nhân tử chung ta nhận định xem có thể áp dụng

hằng đẳng thức nào.

Ví dụ : F = - x⁴y²- 8x²y – 16

F = - [(x²y)²+ 2.4x²y + 4²]

= - (x²y + 4)²

* Trước tiên ta xét hạng tử bậc cao nhất kết hợp với số hạng tự do (nếu

có) là luỹ thừa bậc mấy để có thể nhận định dùng hằng đẳng thức nào.

Chẳng hạn: D = 4x²+ 12x + 9

Hạng tử cao nhất: 4x²có dạng (2x)²và số hạng tự do 9 = 3²nên ta dùng

hằng đẳng thức (a + b)²= a²+ 2ab + b².

E = 1 – 8x⁶y³

Hạng tử bậc cao nhất: 8x⁶y³có dạng (2x²y)³và 1 có thể viết: 1 = 1³nên ta

dùng hằng đẳng thức: a³- b³= (a - b) (a²+ ab + b²).

2.1.3. Phương pháp nhóm các hạng tử:

Một đa thức nếu không dùng được phương pháp đặt nhân tử chung, cũng

không dùng được phương pháp hằng đẳng thức thì ta xét một trong các hạng tử,

những hạng tử nào có cùng nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức thì ta nhóm

10

lại với nhau.

Ví dụ : G = xy - 5y + 2x – 10

Rõ ràng G không phân tích được bằng phương pháp đặt nhân tử chung và

hằng đẳng thức.

Trong 4 hạng tử xuất hiện:

xy - 5y = y (x - 5) và 2x - 10 = 2 (x - 5)

hoặc xy + 2x = x (y + 2) và - 5y - 10 = - 5 (y + 2)

Cả hai hướng đều cho ta kết quả:

G = (x - 5) ( y + 2)

= (y + 2) (x - 5)

Việc chia nhóm phải đạt được mục đích là sau đó xuất hiện nhân tử chung

của các nhóm.

Ví dụ: H = x²+ 2x + 1 - y²

Trong 4 hạng tử có: x²+ 2x = x (x + 2)

nhưng 1 - y²= (1 + y) (1 - y). Giữa hai nhóm không có nhân tử chung và

ta nhận thấy:

x²+ 2x + 1 = (x + 1)²

Khi đó: H = (x + 1)²- y²là hiệu 2 bình phương

Nên

H = (x + 1 + y) (x + 1 - y)

Ví dụ: I = 81x²- 6yz - 9y²- z²

Ta có: - 6yz - 9y²= - 3y (2z + 3y)

81x²- 9y²= (9x + 3y) (9x - 3y) cũng không có nhân tử chung

Ta nhận thấy - (9y²+ 6yz + z²) = - (3y + z)²nên:

I = 81x²- (9y²+ 6yz + z²)

= 81x²- (3y + z)

= (9x + 3y + z) (9x - 3y - z)

Vậy tóm lại: Để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử ta cần nhóm để có

thể làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc hằng đẳng thức.

2.1.4. Phối hợp nhiều phương pháp:

11