SKKN Một số ứng dụng của phương pháp đồng bậc
Trong chương trình môn toán ở cấp THPT cũng như trong các đề thi tuyển sinh vào các trường ĐH-CĐ và học sinh giỏi các cấp ta thường gặp các bài toán giải bằng phương pháp đồng bậc.
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình môn toán ở cấp THPT cũng như trong các đề thi
tuyển sinh vào các trường ĐH-CĐ và học sinh giỏi các cấp ta thường gặp các
bài toán giải bằng phương pháp đồng bậc. Phương pháp đồng bậc (hay còn gọi
là phương pháp đẳng cấp) là một phương pháp thường gặp trong khi giải các bài
toán về phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức....Theo phương pháp này,
từ giả thiết ta tìm một hệ thức giữa các ẩn mà ở đó mỗi hạng tử cùng bậc, sau đó
đưa hệ thức đó về hệ thức một ẩn, hoặc phân tích thành nhân tử hoặc một hệ
thức mới đơn giản hơn.
Đối với các em học sinh chuẩn bị thi vào các trường ĐH-CĐ hoặc thi học
sinh giỏi các cấp, việc tìm ra một phương pháp ôn tập hợp lí có ý nghĩa rất quan
trọng. Các em cần có một cái nhìn xuyên suốt về kiến thức và các phương pháp
giải toán đã học. Nhằm giúp các em học sinh có được một cái nhìn toàn diện về
một phương pháp giải toán quan trọng, tôi chọn đề tài: “Một số ứng dụng của
phương pháp đồng bậc”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
- Giúp học sinh có cái nhìn toàn diện về một phương pháp giải toán hiệu quả
- Giúp học sinh tìm ra phương pháp ôn tập hiệu quả thông qua việc ôn luyện
theo các phương pháp giải toán.
- Giúp bản thân và đồng nghiệp nâng cao trình độ chuyên môn, đổi mới
phương pháp có hiệu quả.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp đồng bậc qua các chủ đề quan
trọng trong chương trình môn toán bậc THPT hiện hành.
1
IV.
ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các ứng dụng của phương pháp đồng bậc
qua các chủ đề: phương trình, hệ phương trình; giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; bất
đẳng thức.
- Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình toán hiện hành và trong nội dung
thi ĐH-CĐ, thi học sinh giỏi các cấp.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Khảo sát ứng dụng của phương pháp đồng bậc qua từng chủ đề.
- Phân tích cách nhận dạng, áp dụng phương pháp cho mỗi dạng toán.
- Tổng kết, rút kinh nghiệm.
VI.
NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI:
- Giúp học sinh có cách nhìn toàn diện về một phương pháp giải toán hiệu
quả, góp phần đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp học tập chủ
động, tích cực của học sinh.
- Nâng cao chất lượng dạy học của bản thân, của đồng nghiệp.
2
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
Trong nhà trường phổ thông, nhiệm vụ của môn toán không chỉ là trang
bị cho học sinh các kiến thức toán học như các định lý, khái niệm, quy tắc mà
quan trọng hơn là phải trang bị cho các em những kiến thức về phương pháp và
tư duy. Việc hình thành ở các em các kĩ năng tư duy như khái quát hóa, tổng
quát hóa…thông qua việc dạy và học môn toán có vai trò quan trọng trong việc
hình thành phẩm chất của con người lao động có tư duy sang tạo sau này.
Việc có được một cái nhìn toàn diện về một phương pháp giải toán hiệu quả qua
nhiều dạng toán quan trọng trong chương trình giúp các em học sinh có được
năng lực tư duy độc lập, khái quát, tổng kết được những vấn đề đã học. Qua đó
phần nào hình thành được những kĩ năng tư duy quan trọng.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
- Trong chương trình môn toán trung học phổ thông hiện hành, các chủ đề
liên quan đến phương pháp đồng bậc khá nhiều song chưa có một nghiên cứu
toàn diện cho vấn đề đó.
- Đối với các em học sinh đang chuẩn bị cho kì thi cuối cấp, các em thường
lúng túng khi chọn ra phương pháp ôn tập phù hợp. Việc ôn tập theo phương
pháp giải toán giúp các em có hướng nhìn xuyên suốt vấn đề và tiết kiệm thời
gian.
- Việc đổi mới phương pháp hướng tới phát tính tích cực của học sinh đòi
hỏi giáo viên phải tìm ra những cách thức phù hợp nhằm phát huy năng lực của
học sinh.
3
Chương II: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC TRONG
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
Trong phương trình, bất phương trình và hệ phương trình, việc tạo ra các
biểu thức đồng bậc giúp ta dễ dàng đưa cách hệ thức đã cho về dạng 1 ẩn hoặc
có thể phân tích thành nhân tử. Từ đó thu được những hệ thức đơn giản hơn.
Trong chương này ta sẽ xem xét một số ví dụ đặc trưng từ các phương trình
lượng giác, phương trình mũ, phương trình vô tỉ, hệ phương trình ...
Ví dụ 1: Giải phương trình: 4(sin3 x cos3 x) cos x 3sin x (1)
Lời giải: Ta có (1) 4(sin3 x cos3 x) cos x 3sin x sin2 x cos2x
sin3 x -sin2 x.cos x -3sin x.cos2 x 3cos3 x 0 (2)
Nếu cos x 0, từ (2) suy ra sin x 0 vô lí vì sin2 x cos2x 1, do đó
(2) tan3 x tan2 x 3tan x 3 0
4
3
x k
tanx 1
tanx 3 x k k ¢
tanx 3
3
x k
Vậy phương trình có các họ nghiệm:
4
3
3
x k;x k;x k k ¢
.
Nhận xét: Đây là dạng phương trình lượng giác đẳng cấp với sin và cos thường
gặp. Do sin2 x cos2 x 1nên các biểu thức bậc nhất đối với sin và cos ta có thể
coi là bậc ba (nhân thêm sin2 x cos2x 1).
Ví dụ 2 (A-2006) Giải phương trình: 3.8x 4.12x 18x 2.27x 0 .
4
Lời giải: Ta viết lại phương trình dưới dạng:
3
2
2
3. 2x 4. 2x .3x 2x. 3x 2. 3x 3 0
Ta thấy đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với 2x và 3x . Do đó phương
trình tương đương với
3x
2x
x
2
2
2
3
4
2 0
3
3
3
x
2
1 vn
3
x 1
x
2
2
3
3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 3: Giải phương trình 2 x2 2 5 x3 1 (1)
2
2
Lời giải: Ta có (1) 2 x 1 x x 1 5 x 1 x x 1 (2)
Điều kiện: x 1. Khi đó:
x 1
x 1
(2) 2.
5.
2 0
x2 x 1
x2 x 1
x 1
2
2
x2 x 1
4x 5x 3 0 vn
x2 5x 3 0
x 1
1
x2 x 1 2
5 37
x
2
5 37
2
tm
.
x
5
5 37
5 37
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x
;
x
.
2
2
Nhận xét: Việc sử dụng hằng đẳng thức và tách số hạng hợp lí giúp đưa một
phương trình vô tỉ khá khó khăn về một phương trình dạng đẳng cấp đơn giản.
Đây là dạng phương trình khá thường gặp trong các kì thi. Sau đây là một số ví
dụ minh họa cho những kĩ thuật tương tự.
Ví dụ 4: Giải phương trình 3 x2 3x 1 x4 x2 1.
Lời giải: Tập xác định
¡
.
Ta có phương trình đã cho tương đương với
3 x2 3x 1 x4 2x2 1 x2
3 x2 3x 1 x2 x 1 x2 x 1
2
2
3 2 x x 1 x x 1 x2 x 1 x2 x 1
x2 x 1
x2 x 1
2 3
3 0
x2 x 1
x2 x 1
x2 x 1
x2 x 1
3
3
x2 x 1
3
vn
x2 x 1
2
2x2 4x 2 0 x 1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 5: Giải phương trình 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x 1
Lời giải: Điều kiện: x 5
Ta có: phương trình 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x 1
6
Bình phương hai vế và biến đổi ta được:
2 x2 4x 5 3 x 4 5 x2 4x 5 x 4 0
x2 4x 5
x2 4x 5
x 4
2
5
3 0
x 4
5 61
x2 4x 5
x 4
x2 4x 5 3
x
1
2
2
x 5x 9 0
x 8
4x2 25x 56 0
7
4
x
x 4
2
5 61
Đối chiếu điều kiện ta được : x 8; x
2
Ví dụ 6(A-2007). Cho phương trình 3 x 1 m x 1 24 x2 1. (1)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm .
Lời giải: Điều kiện : x 1
x 1
x 1
x2 1
x 1
x 1
x 1
x 1
4
4
(1)
3
m 2
3
m 2
(x 1)2
x 1
x 1
x 1
x 1
2
4
Đặt t=
>0,vì
1
1 t [0;1)
x 1
Bài toán trở thành tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
2
f (t) 3t 2t m
0 t 1
1
Ta có f ' t 6t 2 f ' t 0 t
3
7
Bảng biến thiên
1
3
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi 1 m
2
2
2x 4xy y 1 1
Ví dụ 7: Giải hệ
.
3x2 2xy 2y2 7 2
Hướng dẫn: Nhân phương trình (1) với 7 rồi cộng với phương trình (2), ta được:
17x2 26xy 9y2 0 3
Dễ thấy y 0 không thỏa mãn hệ, do đó
x
y
x
1
2
y
x y
x
x
3 17
26 9 0
9y
9
y
x
17
y 17
9
17
9
17
Từ đó giải được các nghiệm: (1;1), (-1;-1),
;
,
;
161 161
161
161
Nhận xét: Đây là hệ đẳng cấp bậc hai quen thuộc, việc làm mất hệ số tự do
nhằm tạo ra một phương trình thuần nhất.
8
3
3
x y 1
Ví dụ 8: Giải hệ
Lời giải: Ta có:
x5 y5 x2 y2
3
3
3
3
3
3
x y 1
x y 1 1
x y 1
x5 y5 x2 y2 x3 y3
x5 y5 x2 y2
x2 y2 x y 0 2
Ta có 2 x 0 y 0 x y 0
Nếu x 0, kết hợp với (1) ta được y 1
Nếu y 0, kết hợp với (1) ta được x 1
Nếu x y 0 x y, thì (1) không thỏa mãn.
Vậy hệ có hai nghiệm x; y 0;1 , x; y 1;0
x 2y xy 0 1
x 1 2y 1 1 2
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:
1
Lời giải: Điều kiện: x 1; y . Khi đó
2
x
y
1 vl ;
x
x
y
1
2 0
x 4y
y
x
y
2
Thay vào (2) ta được:
4y 1 2y 1 1 4y 1 2y 1 1
4y 1 2y 1 2 2y 1 1 2y 1 2 2y 1
9
1
y (tm)
2y 1 0
x 2
2
5
x 10
2y 1 2
y (tm)
2
1
2
5
2
Vậy hệ có hai nghiệm x; y 2;
và x; y 10;
.
Nhận xét: Dễ nhận thấy (1) là phương trình thuần nhất bậc hai đối với
x
và
y
nên ta có cách biến đổi như trên. Ta cũng có thể đặt x=ty hoặc biến đổi (1)
x y
x 2 y 0
.
2
2
x 2y xy 2y
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình
2x3 3xy2 2y2 3x2 y
Lời giải:
Nếu y 0, từ (1) x 0 thỏa mãn hệ
Nếu y 0, nhân hai vế của (1) với
y
rồi trừ theo vế cho (2) ta được:
2y3 2x3 4x2 y 4xy2 0
y x 2x2 2y2 2xy 0
2
2
2
y x x y x y 0
x y
2
x y x2 y2 0 vl do y 0
Với x y thay vào (1) ta được 2y2 2y 0 y 1 do y 0 x 1 thỏa
mãn hệ .
Vậy hệ có hai nghiệm x; y 0;0 , x; y 1;1
10
Nhận xét: Mục đích của việc “nhân hai vế của (1) với
nhằm tạo ra phương trình thuần nhất với và
y
rồi trừ theo vế cho (2)”
x
y
.
Ví dụ 11: (HSG Bắc Giang 2010) Giải hệ phương trình:
x x 8 y x y y 1
x y 5. 2
Lời giải: Điều kiện x 0, y 0. Dễ thấy x 0 không thỏa mãn hệ.
Ta có (1) x x y y x 8 y
5 x x y y x 8 y x y
3y y xy 8x y 4x x 0
3
2
y
x
y
x
y
x
3
8
4 0
y
1;
x
y x;
y
x
2
;
4x
3
y
9
y
x
2 vl
Nếu x y không thỏa mãn (2)
4x
Nếu y
, kết hợp với (2) ta được x 9; y 4 thỏa mãn hệ.
9
11
Tải về để xem bản đầy đủ
34 trang
25/09/2024
500
Bạn đang xem 11 trang mẫu của tài liệu "SKKN Một số ứng dụng của phương pháp đồng bậc", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_mot_so_ung_dung_cua_phuong_phap_dong_bac.docx
sang kien kinh nghiem Ngo Ngoc Ha.pdf
