SKKN Một số sai lầm khi vận dụng các định lí và tính chất để giải các bài toán hình học không gian’’
Hình học là phần khó của chương trình toán THPT, nhất là hình học không gian ở lớp 11 và lớp 12 đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết, có tư duy Toán nhất định mới có thể vẽ được hình, đọc được hình rồi giải các bài toán nên nhiều học sinh rất ngại khi học và làm các bài toán về hình học không gian.
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
MỤC LỤC…………………………………………………………
Phần I. Đặt vấn đề:…………………………………………
1
2
3
3
6
6
7
Phần II. Giải quyết vấn đề:………………………………………..
A. Cơ sở lý thuyết…………………………………………………
B. Nội dung……………………………………………………….
Vấn đề 1: Phát biểu một định lí không chính xác……………….
Vấn đề 2: Vận dụng các định lí trong trường hợp thiếu điều kiện
Vấn đề 3: Sử dụng các định lí về tương quan giữa các đường
thẳng trong mặt phẳng đem mở rộng cho trường hợp trong không
gian…………………………………………………………………
BÀI TẬP THÊM…………………………………………………..
9
16
19
19
20
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU..............................................................
Phần III. Kết luận…………………………………………………..
PHỤ LỤC………………………………………………………….
1
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài:
Hình học là phần khó của chương trình toán THPT, nhất là hình học
không gian ở lớp 11 và lớp 12 đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết, có tư
duy Toán nhất định mới có thể vẽ được hình, đọc được hình rồi giải các bài toán
nên nhiều học sinh rất ngại khi học và làm các bài toán về hình học không gian.
Đây cũng là một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng,
đức tính, phẩm chất của con người lao động mới. Ngoài việc cung cấp cho học
sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học
sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có
tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo
cho học sinh.
Thông thường khi vận dụng các định lí để chứng minh các tính chất hoặc
để tính toán, ta thường gặp các sai lầm.
- Phát biểu một định lí không chính xác.
- Vận dụng các định lí trong trường hợp thiếu điều kiện
- Sử dụng các định lí về tương quan giữa các đường thẳng trong
mặt phẳng đem mở rộng cho trường hợp trong không gian.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11CB rất e
ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính
thực tế. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần
giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và
phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian. Qua nhiều năm giảng
dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em
tránh được một số sai sót trong quá trình giải các bài toán hình học không gian
đó là lý do tôi đúc rút trong đề tài “MỘT SỐ SAI LẦM KHI VẬN DỤNG CÁC
ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN’’
2. Mục đích nghiên cứu.
2
Giúp học sinh khắc phục các sai lầm khi giải toán hình học không gian.
Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh. Tìm ra phương pháp dạy học
phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh.
3. Đối tượng ngiên cứu:
Một số định lý, tính chất của hình học không gian và ứng dụng của nó.
4. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm
Học sinh khối 11,12 năm học 2019-2020
5. Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu
tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…).
Phương pháp đàm thoại phỏng vấn
PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN DỀ:
A. Cơ sở lý thuyết
I. Quan hệ vuông góc
1. Hai đường thẳng vuông góc
¶
0
a) Định nghĩa : a b a,b 90
b) Tính chất
+ Giả sử
u
là vectơ chỉ phương của a,
v
là vectơ chỉ phương của b. Khi
đó a b u.v 0
b c
a c
+
a b
2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
a. Định nghĩa
b. Tính chất
d (P) d a, a (P)
Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
a,b (P),a b O
d a,d b
+
+
+
d (P)
a P b
a b
(P) b
+
+
a P b
(P) a
a (P),b (P)
(P)P (Q)
(P) (Q)
(P) a,(Q) a
a (Q)
(P) P Q)
a (P)
3
a P (P)
b (P)
a (P)
a b,(P) b
+
b a
+
a P P)
Định lí ba đường thẳng vuông góc
Cho a (P),b (P), a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b a b a
3. Hai mặt phẳng vuông góc
0
a. Định nghĩa
(P) (Q) (P),(Q) 90
b. Tính chất
(P) a
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
(P) (Q)
a (P)
a (Q)
(P) (Q)
(P) (Q),(P)(Q) c
+
+
a (Q)
+
A(P)
a (P),a c
a A,a (Q)
(P)(Q) a
(P) (R)
(Q) (R)
a (R)
II. Góc và khoảng cách
1. Góc
¶
·
a. Góc giữa hai đường thẳng:
a//a', b//b' a,b a',b'
¶
0
0
Chú ý: 0 a,b 90
b. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
·
Nếu d (P) thì d,(P) = 900.
·
·
Nếu d (P) thì d,(P) = d,d ' với d’ là hình chiếu của d trên (P).
·
0
Chú ý: 0 d,(P) 900
a (P)
b (Q)
¶
(P),(Q) a,b
c. Góc giữa hai mặt phẳng:
a (P),a c
b (Q),b c
¶
Giả sử (P) (Q) = c. Từ I c, dựng
(P),(Q) a,b
0
0
Chú ý:
0 (P),(Q) 90
d. Diện tích hình chiếu của đa giác: Gọi S là diện tích của đa giác (H)
4
trong (P), S’ là diện tích của hình chiếu (H’) của H trên (Q), = (P),(Q) . Khi
đó S = S.cos
2. Khoảng cách
a. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ
dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
b. Khoảng cách giữa đường thẳng vằ mặt phẳng song song bằng
khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
c. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ
một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng
+ Độ dài của đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
+ Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng
song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai
đường thẳng đó.
III. Khối đa diện và thể tích của chúng
V a.b.c
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:
với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
1
V Sñaùy.h
2. Thể tích của khối chóp
3
với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
3. Thể tích của khối lăng trụ:
V Sñaùy.h
với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
a. Tính thể tích bằng công thức:
+ Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,....
+ Sử dụng công thức để tính thể tích.
5
b. Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà ta có thể dễ dàng
tính được thể tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối
đa diện cần tính.
c. Tính đa diện bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác so cho khối
đa diện thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
d. Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên
VOABC
OA OB OC
Ox; B, B’ trên tia Oy, C, C’ trên tia Oz ta đều có:
.
.
VOA'B'C' OA' OB' OC '
O
A'
C'
B'
C
A
z
x
B
y
B. Nội dung
Thông thường khi vận dụng các định lí để chứng minh các tính chất hoặc
để tính toán, học sinh thường gặp các sai lầm.
Vấn đề 1: Phát biểu một định lí không chính xác.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA
vuông góc với đáy. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam
giác vuông.
Giải
SA AB SAB vuông ở A
SA AD SAD vuông ở A
6
Ta cũng có
SA AB
AB BC
SB BC (theo định lý ba đường vuông góc) SBC
vuông tại B
Chứng minh tương tự SDC vuông tại D
S
A
D
B
C
Thiếu sót chủ yếu ở lý luận trên đây là phát biểu định lý ba đường thẳng
vuông góc một cách không chính xác.
SA ABCD
SB BC
AB BC
- Vận dụng các định lí trong trường hợp thiếu điều kiện
- Sử dụng các định lí về tương quan giữa các đường thẳng trong mặt phẳng đem
mở rộng cho trường hợp trong không gian.
Bài tập tương tự: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên là những tam giác vuông.
b) Mặt phẳng () qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại
B’, C’, D’. Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ vuông góc với SB.
c) Đặt BM = x. Tính độ dài đoạn SK theo a và x. Tính giá trị nhỏ nhất của
đoạn SK.
Vấn đề 2: Vận dụng các định lí trong trường hợp thiếu điều kiện
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác, đáy ABC là một tam giác vuông góc ở
đỉnh B. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đường AK vuông góc SB
7
và AH vuông góc với SC. Chứng minh rằng SC vuông góc với HK và AK
vuông góc với HK.
S
H
K
C
A
B
Giải: Theo giả thiết:
SC AH
SC AHK
AH AHK
Mặt khác HK nằm trong (AHK) suy ra SC HK
AK SB
Ta có:
AK SBC
SB SBC
AK SBC
AK HK
HK SBC
Những lí luận trên đây dựa trên một mệnh đề sai là: “Một đường thẳng vuông
góc với một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì vuông góc với mặt
phẳng ấy”. Thật ra, muốn kết luận SC (AHK) ta phải chứng minh được rằng
SC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng ấy, nghĩa là phải lý
luận như sau:
SA ABC
BC SB
BC AB
BC SAB BC AK 1
AB BC
Theo giả thiết SB AK (2)
Từ (1) và (2) suy ra AK (SBC)AK HK
8
Tương tự chứng minh lại cho trường hợp SC HK
Bài tập tương tự: Cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm
trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của
AB, CD và E, F lần lượt là trung điểm của SA, SB.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) và tan của góc giữa hai
mặt phẳng (SAB) và (SCD).
b) Gọi G là giao điểm của CE và DF. Chứng minh CF vuông góc với SA
và CF vuông góc với SB. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (GEF) và (SAB).
Hai mặt phẳng này có vuông góc với nhau không?
Vấn đề 3: Sử dụng các định lí về tương quan giữa các đường thẳng trong
mặt phẳng đem mở rộng cho trường hợp trong không gian.
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Qua đỉnh C của đáy dựng một mặt
phẳng vuông góc với cạnh bên SA. Mặt phẳng này cắt các cạnh SA, SB, SD ở
các điểm M, N, P. Chứng minh NP//BD.
Giải: Kẻ đường cao SH
SH(ABCD) SHBD (1)
ABCD là hình vuông ACBD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD (SAC) BDSA
Theo giả thiết SA(CPMN) nên ta có NPSA
Hai đường thẳng BD và NP cùng vuông góc với đường thẳng SA nên
chúng song song với nhau.
Vậy BD//NP
9
S
M
P
N
A
D
H
B
C
Trong ví dụ này, kết luận dựa trên định lí : “Hai đường thẳng cùng vuông góc
với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau’’. Đó là một định lí của hình
học phẳng. Nhưng việc mở rộng ra trong hình học không gian thì đó lại là một
mệnh đề sai. Về bài này, ta phải lí luận như sau :
Vì BD SA và SA(COMN) nên theo định lí “Một đường thẳng và một
mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau “
ta có BD//(CPMN)
Ta lại có (SBD) chứa BD và (CPMN)//BD nên giao tuyến của chúng là
NP//BD.
(Hoặc chứng minh NP và BD cùng vuông góc (SAC))
Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật, cạnh
SA vuông góc với mặt đáy. Từ đỉnh A kẻ các đường AH vuông góc với SB, AI
vuông góc với SC, AK vuông góc với SD. Chứng minh rằng tứ giác AHIK nội
tiếp được.
Giải :
SA ABCD
Ta có
SB BC
AB BC
Mặt khác, ABBC
Vậy BC (SAB) BC AH
10
Theo giả thiết AH(SBC) mà IH thuộc (SBC) cho nên AHHI
o
·
AHI 90
o
·
Chứng minh tương tự AKI 90
o
·
·
Nên AHI AKI 180
Vậy tứ giác AHIK nội tiếp được
S
K
C
I
H
D
A
B
Sai lầm chủ yếu của chứng minh trên đây là chưa chứng minh rằng tứ giác
AHIK là một tứ giác phẳng nghĩa là 4 điểm A, H, K, I cùng nằm trên một mặt
phẳng. Cần chứng minh bổ sung lời giải trên đây bằng một chứng minh nữa.
AH (SBC) AH SC
AI SC
SC (AHI) (1)
Lý luận tương tự SC(AKI) (2)
Vì qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta chỉ có thể dựng được một
mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ấy nên rõ ràng hai mặt phẳng (AHI) và
(AKI) trùng nhau do vậy 4 điểm A, H, I, K cùng nằm trên một mặt phẳng suy ra
AHIK là một tứ giác phẳng.
Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông góc
tại A và B, SA vuông góc với đáy. Cho biết AB = BC = a ; AD = SA = 2a.
a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp. Tính góc nhị diên cạnh SD.
b) Một mặt phẳng (P) qua CD và trung điểm M của cạnh SA. Tính diện
tích mặt cắt của hình chóp do mặt phẳng (P) tạo ra.
11
Tải về để xem bản đầy đủ
21 trang
30/07/2024
730
Bạn đang xem 11 trang mẫu của tài liệu "SKKN Một số sai lầm khi vận dụng các định lí và tính chất để giải các bài toán hình học không gian’’", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_mot_so_sai_lam_khi_van_dung_cac_dinh_li_va_tinh_chat_de.doc
