SKKN Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

MÃ SKKN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Một số phương pháp phân tích đa thức

thành nhân tử

Lĩnh vực: Toán

Cấp học: Trung học cơ sở

Năm học 2016-2017

1

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016-2017

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Mục lục

TT

NỘI DUNG SKKN

Phần I. Đặt vấn đề

TRANG

1

2

3

4

5

6

Lý do chọn đề tài

2

3

Mục đích của đề tài

Giới hạn đề tài

Đối tượng nghiên cứu.

Phương pháp nghiên cứu

Kế hoạch nghiên cứu

Phần II. Giải quyết vấn đề

Cơ sở lý luận và thực tiễn: Một số phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử

Thực trạng vấn đề

1

4

2

3

4

26

Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện

Kết quả áp dụng đề tài

27

Phần III. Kết luận và khuyến nghị

Phần IV. Tài liệu tham khảo

28

29

2

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016-2017

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ

1. Lí do chọn đề tài

a. Cơ sở pháp chế

Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo

dục & đào tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học

sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc

đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước. Chính vì vậy, trong những năm gần

đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành giáo dục hết sức chú

trọng.

b. Cơ sở lý luận

Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là

một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm

lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương

trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những

biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang

trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm.

Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những học

sinh có năng khiếu về bộ môn Toán. Giúp cho các em trở thành những học sinh

giỏi thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên

môn được ngành giáo dục hết sức chú trọng. Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp

được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó.

Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh

giỏi, trong đó chuyên đề “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân

tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học

sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. Chẳng hạn,

để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa

thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó

khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử,

thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Quận, Thành phố, ... nhiều năm

cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. Chính vì

vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử

là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm.

3

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016-2017

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

c. Cơ sở thực tiễn

Năm học này, bản thân tôi được Nhà trường giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi

dưỡng học sinh. Đây là cơ hội để tôi đưa đề tài này áp dụng vào công tác đào tạo

bồi dưỡng học sinh giỏi.

Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài “ Một số phương

pháp phân tích đa thức thành nhân tử” .

2. Mục đích của đề tài

- Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử.

- Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phương

pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài .

- Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức

thành nhân tử trong giảng dạy.

- Một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu.

3. Giới hạn của đề tài

Đề tài này tôi áp dụng tại nhà trường đang dạy

4. Đối tượng nghiên cứu

Học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 của nhà trường.

5. Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:

a) Phương pháp nghiên cứu lý luận.

b) Phương pháp khảo sát thực tiễn.

c) Phương pháp quan sát.

d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.

e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

6. Kế hoạch nghiên cứu

-Từ tháng 8/2016 đến tháng 10/2016: Đọc tài liệu liên quan đến đề tài

-Từ tháng 11/2016 đến tháng 12/2016: Lập đề cương đề tài

-Từ tháng 1/2017 đến tháng 3/2017: Hoàn thiện đề tài

4

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016-2017

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I. Cơ sở lý luận và thực tiễn: Một số phương pháp phân tích đa thức

thành nhân tử

Nhiều định lý đã chứng tỏ được rằng mọi đa thức đều phân tích được thành

tích các đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết, còn trong thực

hành thì khó khăn hơn nhiều, và đòi hỏi những “kĩ thuật”, những thói quen và kĩ

năng “sơ cấp”. Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường

dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử.

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối

với phép cộng (theo chiều ngược).

Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = 2ax³+ 4bx²y + 2x²(ax - by)

Giải: Ta có : A = 2ax³+ 4bx²y + 2x²(ax –by)

= 2x²(ax + 2by + ax – by)

=2x²(2ax + by)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B = (2a²– 3ax)(5y + 2b) – (6a²– 4ax)(5y + 2b)

Giải: Ta có:

B = (2a²– 3ax)(5y +2b) – (6a²– 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)((2a²– 3ax) – (6a²– 4ax))

= (5y + 2b)(- 4a²+ ax)

= (5y + 2b)(x – 4a)a

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

C = 3x²(y – 2z ) – 15x(y – 2z)²

Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z

Do đó : C = 3x²(y – 2z) – 15x(y – 2z)²

= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))

=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)

Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử

D = (2a²– 3ax)(5c + 2d) – (6a²– 4ax)(5c +2d)

Giải: Ta có: D = (2a²– 3ax)(5c + 2d) – (6a²– 4ax)(5c + 2d)

= (5c + 2d)(2a²– 3ax – 6a²+ 4ax)

= (5c + 2d)(ax – 4a²)

= a(5c + 2d)(x – 4a)

Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử

5

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016-2017

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

E = 3x³y – 6x²y – 3xy³– 6xy²z – xyz²+ 3xy

Giải: Ta có: E = 3x³y – 6x²y – 3xy³– 6xy²z – xyz²+ 3xy

= 3xy(x²– 2x –y²– 2yz – z²+ 1)

= 3xy((x²– 2x + 1) – (y²+ 2yz + z²))

= 3xy((x – 1)²– (y + z)²)

= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))

= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử:

F = 16x²(y – 2z) – 10y( y – 2z)

Giải: Ta có : F = 16x²(y – 2z) – 10y( y – 2z)

= (y – 2z)(16x²– 10y)

Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

G = x³+ 3x²+ 2x + 6

Giải: Ta có : G = x³+ 3x²+ 2x + 6

= x²(x + 3) + 2( x + 3)

= (x²+ 2)(x + 3)

Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

H = 6z³+ 3z²+ 2z +1

Giải: Ta có : H = 6z³+ 3z²+ 2z +1

= 3z²(2z + 1) + (2z + 1)

= (2z + 1)(3z²+ 1)

2. Phương pháp nhóm các hạng tử

Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất

kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử

chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng.

Sau đây là một số ví dụ :

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = xy²– xz²+ yz²– yx²+ zx²– zy²

Giải: Ta có : A = xy²– xz²+ yz²– yx²+ zx²– zy²

= (xy²– xz²) + (yz²- zy²) + (zx²– yx²)

= x(y²– z²) + yz(z – y) + x²(z – y)

= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x²(y – z)

= (y – z)((x(y + z) – yz – x²))

= (y – z)((xy – x²) + (xz – yz)

= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))

6

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016-2017

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

= (y – z)(x – y)(z – x)

Bài 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B= 4x⁵+6x³+6x²+9

Giải: Ta có : B = 4x⁵+6x³+6x²+9

= 2x³(2x²+ 3) + 3(2x³+ 3)

= (2x³+ 3)(2x²+ 3)

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

C = x⁶+ x⁴+ x²+ 1

Giải: Ta có : C = x⁶+ x⁴+ x²+ 1

= x⁴(x²+ 1) + ( x²+ 1)

= (x²+ 1)(x⁴+ 1)

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

D = x²+ 2x + 1 – y²

Giải: Ta có: D = x²+ 2x + 1 – y²

= (x²+ 2x + 1) – y²

= (x + 1)²– y²

=(x +1 – y)(x + 1 + y )

Bài 5 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

E = x²+ 2xy + y²– xz - yz

Giải: Ta có : E = x²+ 2xy + y²– xz - yz

= (x²+ 2xy + y²) – (xz + yz)

= (x + y)²– z(x + y)

= (x + y)(x + y – z)

Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

F = x^{m + 4}+ x^{m + 3}– x - 1

Giải: Ta có : G = x^{m + 4}+ x^{m + 3}– x – 1

= x^{m + 3}(x + 1) – ( x + 1)

= (x + 1)(x^{m + 3}– 1)

Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

G = x²(y – z) + y²(z - x) + z²(x – y)

Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số

chung y - z

Ta có : G = x²(y – z) + y²z – xy²+ xz²– yz²

= x²(y – z) + yz(y – z) – x(y²– z²)

= x²(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)

7

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016-2017

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

= (y – z)((x²+ yz – x(y + z))

= (y – z)(x²+ yz – xy – xz)

= (y – z)(x(x – y) – z(x – y))

= (y – z)(x – y)(x – z)

Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y)

nên : G = x²(y – z) - y²((y – z) + (x – y)) + z²(x – y)

=(y – z)(x²– y²) – (x – y)(z²– y²)

= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)

= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))

= (y – z) (x – y)(x – z)

Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

Giải: Ta có : I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc

= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc²+ c²a + abc – abc

= ( a + b)(bc + ca + ab) + c²( a + b)

= ( a + b)(bc + ca + ab + c²)

= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))

= ( a + b)(b + c)(c + a)

Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

K = a²b + ab²+ b²c +bc²+ c²a + ca²+ 3abc

Giải: Ta có : K = a²b + ab²+ b²c +bc²+ c²a + ca²+ 3abc

= (a²b + ab²+ abc) + (b²c +bc²+abc) + (c²a + ca²+ abc)

= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)

= ( a + b + c)(ab + bc + ca)

Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Q = 2a²b + 4ab²– a²c + ac²– 4b²c + 2bc²– 4abc

Giải: Ta có : Q = 2a²b + 4ab²– a²c + ac²– 4b²c + 2bc²– 4abc

= (2a²b + 4ab²) – (a²c + 2abc) + (ac²+ 2bc²) – (4b²c+ 2abc)

= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c²(a + 2b) – 2bc(a + 2b)

= (a + 2b)(2ab – ac + c²– 2bc)

= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))

= (a + 2b)(2b – c)(a – c)

8

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016-2017

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.

Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích,

hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.

Các hằng đẳng thức thường dùng là :

A²+ 2AB + B²= (A + B)²

A²- 2AB + B²= (A - B)²

A²- B²= (A + B) (A - B)

(A + B)³= A³+ 3A²B + 3AB²+ B³

(A - B)³= A³- 3A²B + 3AB²- B³

A³- B³= (A - B)( A²+ AB + B²)

A³+ B³= (A + B)( A²- AB + B²)

Sau đây là một số bài tập cụ thể:

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B = a⁶– b⁶+ a⁴+ a²b²+ b⁴

Giải: Ta có : B = a⁶– b⁶+ a⁴+ a²b²+ b⁴

= (a⁶– b⁶) + (a⁴+ a²b²+ b⁴)

= (a³+ b³) (a³- b³) + (a⁴+ a²b²+ b⁴)

= (a + b)( a²- ab + b²) (a - b)( a²+ ab + b²) + (a⁴+ 2a²b²+ b⁴) – a²b²

= (a + b)( a²- ab + b²) (a - b)( a²+ ab + b²) +(a²+ b²)²– a²b²

= (a + b)( a²- ab + b²) (a - b)( a²+ ab + b²) +(a²+ab + b²)(a²- ab + b²)

= (a²+ab + b²)(a²- ab + b²) ((a – b)(a + b) + 1))

= (a²+ab + b²)(a²- ab + b²)(a²– b²+ 1)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

C = x⁴+ x²+ 1 + (x²– x + 1)²

Giải: Ta có : C = x⁴+ x²+ 1 + (x²– x + 1)²

= (x⁴+ 2x²+ 1) – x²+ (x²– x + 1)²

= (x²+ 1)²– x²+ (x²– x + 1)²

= (x²– x + 1) (x²+ x + 1) + (x²– x + 1)²

= (x²– x + 1) (x²+ x + 1 + x²– x + 1)

= 2(x²– x + 1)(x²+ 1)

= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

E = (x + y)³+(x - y)³

9

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016-2017

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách

khác giải như sau :

Cách 1: E = (x + y)³+(x - y)³

= ((x + y) +(x - y))³– 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)

= 8x³– 3.2x(x²– y²)

= 2x(4x²– 3(x²– y²))

= 2x(x²+ 3y²)

Cách 2: E = (x + y)³+(x - y)³

= ((x + y) +(x - y))((x + y)²– (x + y)(x – y) + (x – y)²

= 2x(2(x²+ y²) - (x²– y²))

= 2x(x²+ 3y²)

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

F = 16x²+ 40x + 25

Giải: Ta có: F = 16x²+ 40x + 25

= (4x)²+ 2.4.5.x + 5²

= (4x + 5)²

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

G = (a + b+ c) – (a³+ b³+ c³)

Giải: Ta có: G = (a + b+ c) –(a³+ b³+ c³)

= a³+ 3a²(b + c) + 3a(b + c)²+ (b + c)³- (a³+ b³+ c³)

= a³+ 3a²(b + c) + 3a(b + c)²+ b³+ 3b²c + c³- (a³+ b³+ c³)

= 3a²(b + c) + 3a(b + c)²+ 3bc(b + c)

= 3(b + c)(a²+ ab + ac + bc)

= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)

= 3(b + c)(a + b)(a + c)

Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

H = x⁸– 2⁸

Giải: Ta có : H = x⁸– 2⁸

= (x⁴+ 2⁴) (x⁴- 2⁴)

= (x⁴+ 2⁴)((x²)²– (2²)²)

= (x⁴+ 2⁴)(x²– 2²)(x²+ 2²)

= (x⁴+ 2⁴)(x²+ 2²)(x – 2)(x + 2)

* Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để

có thể phân tích đa thước thành nhân tử.

Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M = 3a - 3b + a²- 2ab + b²

10

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016-2017

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Giải: M = 3a - 3b + a²- 2ab + b²

= (3a - 3b) + (a²- 2ab + b²) (Nhóm các hạng tử)

= 3(a - b) + (a - b)²(đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)

= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)

Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : N = a²- b²- 2a + 2b

Giải: N = a²- b²- 2a + 2b

= (a²- b²) - (2a - 2b) (Nhóm các hạng tử)

= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)

= (a -b) (a + b - 2)

(Đặt NTC)

Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần

chú ý các bước sau đây:

+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa

thức.

+ Xem xét đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?

+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải

nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử

chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng

thức. Cụ thể các ví dụ sau:

Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = 5a²+ 3(a + b)²- 5b²

Ta thấy P không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử

chung, vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a²- 5b²có nhân

tử chung. Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên.

P = (5a²- 5b²) + 3(a + b)². Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất

làm xuất hiện hằng đẳng thức P = 5(a²- b²) + 3 (a + b)². Sử dụng hằng đẳng thức

ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a+b)

Vậy P = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)². Đã có nhân tử chung là: (a + b) Vậy ta

tiếp tục đặt nhân tử chung.

P = (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b).

Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

Q = 3x³y - 6x²y - 3xy³- 6xy²2 - 3xyz²+ 3xy.

Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?

Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.

+ Đặt nhân tử chung.

Q = 3xy (x²- 2x - y²- 2yz - Z²+ 1)

Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?

11

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016-2017