SKKN Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Ngày nay khoa học kỹ thuật công nghệ phát triển như vũ bão, sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cũng như ứng dụng và tất cả các ngành công nghệ then chốt như dầu khí, viễn thông, hàng không ... đều không thể thiếu toán học. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin thực sự đã dẫn đến hiện tượng “ Bùng nổ” các ứng dụng toán học đưa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
MỤC LỤC
Trang
A. MỞ ĐẦU
2
1) Lý do chọn đề tài
2) Mục đích nghiên cứu
3) Nhiệm vụ đề tài
4) Phạm vi đề tài
5) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành
6) Dự kiến kết quả của đề tài
B. NỘI DUNG
4
PHẦN I: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG
ĐẠI SỐ
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC
1) Phương pháp dựa vào định nghĩa
5
2) Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức
3) Phương pháp biến đổi tương đương
4) Phương pháp dùng phương pháp phản chứng
5) Phương pháp dùng qui nạp toán học
6) Phương pháp biến đổi
7) Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết
8) Phương pháp tam thức bậc 2
III. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, biểu thức đại
số
6
9
11
13
14
16
17
20
20
2) Tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương
trình có nghiệm, vô nghiệm
22
3) Giải phương trình, hệ phương trình
PHẦN II: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG
HÌNH HỌC
23
23
1) Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học
2) Một số cách chứng minh bất đẳng thức
25
30
31
C. KẾT LUẬN
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
A.
MỞ ĐẦU
1) Lý do chọn đề tài:
Ngày nay khoa học kỹ thuật công nghệ phát triển như vũ bão, sự
phát triển của tất cả các ngành khoa học cũng như ứng dụng và tất cả các
ngành công nghệ then chốt như dầu khí, viễn thông, hàng không ... đều
không thể thiếu toán học. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ
thông tin thực sự đã dẫn đến hiện tượng “ Bùng nổ” các ứng dụng toán học
đưa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội.
Toán học có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc nâng cao và phát
triển dân trí. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh(người học toán)
những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả
năng tư duy logic, một phương pháp luận khoa học.
Trong việc dạy toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và
giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử
dụng đúng phương pháp dạy học. Góp phần hình thành và phát triển tư duy
cho học sinh. Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng,
rèn luyện về phẩm chất đạo đức, thao tác tư duy để giải các bài tập toán
trong đó có giải toán bất đẳng thức.
Một số thực trạng hiện nay khi dạy toán bất đẳng thức ở trường
THCS đó là:
Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức thì chỉ chữa bài tập là xong, ít
khai thác, phân tích đề bài, mở rộng các bài toán mới. Dẫn đến học sinh khi
gặp bài toán khác một chút là không giải được, không nắm được phương pháp
giải cho từng loại từng dạng.
Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức ít, không
liền mạch, phương pháp giải hạn chế. Vận dụng toán bất đẳng thức vào các
loại toán khó như cực trị, giải phương trình rất hạn chế.
Vì vậy: phát triển năng lực, tư duy học sinh thông qua việc giải toán
bất đẳng thức là cần thiết. Hơn nữa theo yêu cầu của thực tế, giáo viên nên
cho học sinh tiếp cận các dạng toán nâng cao, phân loại đối tượng để học
sinh được tiếp cận sớm, quen với một trong các dạng toán khó, đó chính là
bất đẳng thức. Trong nhiều năm học tôi đã tích luỹ được một số kiến thức
về toán bất đẳng thức xin trình bày ở đây một góc độ nhỏ.
2) Mục đích nghiên cứu.
2.1. Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học môn toán nói chung và
việc giải toán các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị
cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán
giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải
quyết một bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.
2.2. Gây được hứng thú cho học sinh trong việc làm bài tập trong
SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải quyết được một số bài tập.
2.3. Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi
giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học.
2/ 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
2.4. Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp
căn bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập.
2.5. Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh
thấy mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳng
thức, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
3) Nhiệm vụ của đề tài.
3.1. Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng
thức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS
3.2. Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng
thức áp dụng để làm bài tập.
3.3. Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp.
3.4. Chọn lọc, hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp cho
từng phương pháp giải, cách đổi biến.
3.5. Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải một
số phương trình đặc biệt.
4) Phạm vi đề tài.
Phát triển năng lực, tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng
thức đối với học sinh cấp THCS.
5) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành.
Đề tài áp dụng đối với học sinh trong các buổi sinh hoạt câu lạc bộ,
trong các giờ luyện tập, ôn tập cuối kỳ, cuối năm, kỳ học sinh giỏi, tốt
nghiệp THCS và thi tuyển vào cấp 3.
Phương pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức cơ bản, đưa ra
phương pháp giải, bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp, bài tập tự giải ở nhà.
6) Dự kiến kết quả của đề tài.
Khi chưa thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải được một số bài tập
về bất đẳng thức đơn giản, hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại
làm bài tập về bất đẳng thức.
Nếu thực hiện được đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán
bất đẳng thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết được các bài tập bất đẳng
thức có dạng tương tự, hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán bất
đẳng thức.
3/ 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
B.
NỘI DUNG
PHẦN I: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐẠI SỐ Ở
TRƯỜNG THCS.
I. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức:
1. Định nghĩa:
Cho hai số a và b ta có: a lớn hơn b, kí hiệu a>b a - b > 0
a nhỏ hơn b, kí hiệu a<b a - b < 0
2. Các tính chất của bất đẳng thức:
2.1. a > b b < a
2.2. Tính chất bắc cầu: a > b; b > c a > c
2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: cùng cộng một số vào hai vế của
bất đẳng thức.
a > b a + c > b + c
Chú ý: không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều
2.4. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức
mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
a b
c d
a - c > b - d
2.5. Tính chất đơn điệu của phép nhân:
a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số dương.
a > b; c > 0 ac > bc
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số âm và đổi chiều của bất đẳng
thức.
a > b; c < 0 ac < bc.
2.6. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà bất đẳng thức
không âm.
a b 0
ac > bd
c d 0
2.7. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức
a > b > 0 an > bn
a > b an > bn với n = 2k + 1(kN)
2.8. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương.
Nếu m > n thì : a >1 am > an
a =1 am = an
0 < a < 1 am < an
2.9. Lấy nghịch đảo hai vế và đối chiếu bất đẳng thức nếu hai vế cùng
dấu.
1
1
a > b > 0 hoặc a < b < 0
<
a
b
Chú ý: ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức
không chặt(a b) tức là a > b hoặc là a = b.
4/ 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Trong các tính chất trên nhiều tính chất dấu “>” ( hoặc dấu”<”) có thể thay
đổi bởi dấu “” ( hoặc dấu “ ”)
3. Các bất đẳng thức cần nhớ.
3.1. a2 0; - a2 0 . Xảy ra dấu đẳng thức khi a=0.
3.2. a 0 . Xảy ra dấu đẳng thức khi a=0.
3.3. -a a a . Xảy ra dấu đẳng thức khi a=0.
3.4. a+b a + b . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0.
3.5. a-b a - b . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0; a b
a b 0
a b 0
( các điều kiện này còn có thể diễn đạt là
4. Một số bất đẳng thức quan trọng.
)
4.1. a2 + b2 2ab
2
a b
2
4.2.
ab hay (a+b)2 4ab ( bất đẳng thức côsi với a
0,b
0).
1
1
4
4.3.
4.4.
+
+
; với a, b >0.
a
a
b
b
a b
2. với ab>0.
b
a
4.5. (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) (bất đẳng thức Bunhiacôpski)
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
1.Phương pháp dùng định nghĩa.
1.1. Phương pháp.
Để chứng minh :
A > B ta xét hiệu A - B và chứng tỏ A - B >0
A < B ta xét hiệu A - B và chứng tỏ A - B <0
1.2. Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1
Giải:
Xét hiệu (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) +1
Đặt (x2 - 5x + 5) =y biểu thức trên bằng: (y-1)(y+1) + 1 = y2 – 1 +
1= y2 0.
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) 0.
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1
Ví dụ 2:
Chứng minh: 2(x2 + y2) (x+y)2
Giải:
Xét hiệu hai vế: 2(x2 + y2) - (x+y)2 = 2x2 + 2y2 - x2 - y2 - 2xy =
x2 - 2xy + y2 = (x-y) 0.
Vậy 2(x2 + y2) (x+y)2
5/ 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng a và b là các số thực không âm thì
a b
2
ab dấu bằng xảy ra a=b
Giải:
a b
2
a b 2 ab
( a b)2
Xét hiệu
a và b 0.
-
ab
=
=
0 đúng với
2
2
Dấu bằng chỉ xảy ra khi a = b.
1.3. Bài tập tự giải.
Chứng minh bất đẳng thức sau:
a b
2
a b
2
1.
(
)
2. x3 + 4x +1 > 3x2 với x 0.
1
3. x4 - x >
2
4. Cho a+b = c+d. chứng minh rằng c2 + d2 +cd 3ab
5. a6 + b6 + c6 a5b + b5c + c5a (a, b, c 0)
1
1
1
6. Với a b 1 thì
+
1 a2
1 b2
1 ab
2. Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức
2.1. Phương pháp:
- Xuất phát từ một bất đẳng thức đã biết rồi vận dụng các tính chất của bất
đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.
- Thường áp dụng những tính chất cơ bản của bất đẳng thức( đã nêu ở phần
trên)
2.2 Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1.
Cho a + b >1. Chứng minh rằng: a4 + b4 >
1
4
Giải.
Ta có: a+ b >1(1). bình phương hai vế ta được:
(a+b)2 >1 a2 + 2ab + b2 >1(2)
Mặt khác: (a-b)2 0 a2 - 2ab - b2 0 (3)
Cộng từng vế của (2) và (3) ta được: 2(a2+b2) >1 a2+b2 > (4)
1
2
1
Bình phương 2 vế của (4) ta được: a4 + 2a2b2 + b4 > (5)
4
Mặt khác (a-b)2 0 a4 - 2a2b2 + b4 > 0 (6)
1
1
8
Cộng từng vế của (5) và (6) ta được 2(a4 + b4) > a4 + b4 >
4
Ví dụ 2:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
6/ 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1
1
1
1
1
1
Chứng minh rằng:
+
+
+
+
a b c
b c a c a b
a
b
c
Giải:
1
1
Xét
+
với a+b-c>0, b+c-a>0
a b c
b c a
1
1
4
Áp dụng bất đẳng thức: +
x
y
x y
1
1
4
2
+
=
a b c
b c a
2b
b
1
1
2
Tương tự ta có:
+
b c a c a b
c
1
1
2
+
a c b
a b c
a
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cả 2 vế cho 2 ta được:
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
a b c
b c a c a b
a
b
c
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2
1
23
1
33
1
n3
1
4
+
+ ... +
<
Giải.
Phân tích hướng dẫn:
Gọi là vế trái của bất đẳng thức trên. Ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất
đẳng thức dưới dạng phương pháp làm trội.
Để chứng minh: A < B ta làm trội A thành C (A< C) rồi chứng minh rằng
CB ( C đóng vai trò làm trung gian)
1
k3
1
1
1
1
Ta có với k N* :
<
=
=
+
k3 k
k(k 2 1)
k(k 1)(k 1)
1
1
1
1
1
Do đó: A <
+
+ ... +
=
+ ... +
2.3.4
22 2 33 3
n3 n
1.2.3
(n 1).n.(n 1)
1
1
1
Đặt C=
+
+ ... +
1.2.3
2.3.4
(n 1).n.(n 1)
1
1
2
Ta lại thấy:
-
=
nên
(n 1).n n(n 1)
(n 1).n.(n 1)
1
C =
2
1
1
1
1
1
1
-
+
-
+ ... +
-
1.2 2.3
2.3 3.4
1
(n 1).n (n 1).n
1
2
1
1
n(n 1)
1
1
1
=
=
-
<
2
4
2n(n 1)
1
4
4
1
23
1
n3
Vậy
+
+ ... +
<
33
Ví dụ 4: Cho x 0, y 0, z 0 Chứng minh rằng
(x+y)(y+z)(z+x) 8xyz(1)
7/ 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Giải
Vì hai vế của (1) đều không âm nên để chứng minh (1) ta sẽ chứng minh :
Ta có : (x+y)2(y+z)2(z+x)2 64x2y2z2
Ta có (x+y)2 4xy
(y+z)2 4yz
(z+x)2 4zx
Hai vế của 3 bất đẳng thức trên đều không âm nên nhân từng vế của bất
đẳng thức trên với nhau ta được
(x+y)2(y+z)2(z+x)2 64x2y2z2
[(x+y)(y+z)(z+x)]2 [8x2y2z2]2
(x+y)(y+z)(z+x) 8xyz . ( vì xyz 0; (x+y)(y+z)(z+x) 0)
Dấu bằng chỉ xảy ra x = y = z = 0
2.3. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh các sai lầm sau:
a b
c d
a b
c d
1.
2.
a - c > b - d
ac > bd
(Nhân vế với vế của một bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có âm hay
không)
3 . Bình phương hai vế của một bất đẳng thức mà chưa biết hai vế không
âm
a > b a2 > b2
4. Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng
a
c
>
ad > cb
b
d
5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế
cùng dấu :
1
1
a > b
>
a
b
6. Khi làm một biểu thức, đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi
làm trội trong từng nhóm
Ta xét ví dụ sau:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 thì
1
1
1
1+ + + ... +
< n
2n 1
2
3
Giải
Gọi hai vế bất đẳng thức trên là A ta có
1
1
1
1
1
1
1
2n1
1
A = 1+( + )+( + ... + )+( + ... + ) + ... + (
+ ... +
)
22
23
2n 1
2
3
7
15
Ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số bằng các phân số lớn
nhất trong mỗi nhóm ta được
8/ 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1
1
1
1
2n1
A < 1+ .2+ .4+ .8+ ... +
.
2n1 = 1 +1 + ...+1=n
22
23
2
2.4. Bài tập tự giải:
Chứng minh bất đẳng thức sau
1
1
4
1/
+
( a>0; b>0)
a
b
a b
2/ a2 + b2 + c2 + d2 4 abcd
1
22
1
32
1
n 1
3/
+
+ ... +
<
n2
n
3. Phương pháp biến đổi tương đương
3.1. Phương pháp:
- Để chứng minh bất đẳng thức A B ta biến đổi tương đương (dựa vào các
tính chất của bất đẳng thức)
A B .... C D
Và cuối cùng đạt được bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C D
Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A B
- Để dùng các phép biến đổi tương đương ta cần chú ý các hằng đẳng thức
sau:
( A+ B)2 = A2 + 2AB +B2
( A- B)2 = A2 - 2AB +B2
(A+B+C)2 = A2 + B2 + C2 +2AB + 2BC + 2 CA.
3.2. Các ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1:
Chứng minh: x2 - x +1 >0 x
Giải
Ta có : x2 - x +1 >0
1
1
3
(x2 - 2. .x + ) + >0
2
4
4
1
3
(x- )2 + > 0 x (điều phải chứng minh)
2
4
1
3
4
•
Khai thác bài toán: Từ lời giải trên ta thấy: (x- )2 +
0 x
2
1
Dấu “=” xảy ra khi x
2
3
4
Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 - x +1 là
Hoặc bài tương tự là: x2 + x +1 >0 x
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với ba số a, b, c bất kỳ ta có:
a2 b2 c2 ab bc ca
Giải:
9/ 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
a2 b2 c2 ab bc ca
2 a2 b2 c2 2 ab bc ca
2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0
(a2 2ab b2 ) (b2 2bc c2 ) c2 2ca a2 0
(a b)2 (b c)2 (c a)2 0
•
Khai thác bài toán:
Xét trường hợp đặc biệt với c = 1 ta có:
a2 b2 1 a2 b2 ab b 1
Kết hợp với đẳng thức (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca ta có:
(a b c)3 a2 b2 c2
3
3
Ví dụ 3.
CMR với 4 số bất kì a, b, x, y ta có: (a2+b2)(x2+y2) (ax+by)2 (1)
a
x
b
y
Dấu bằng xảy ra
=
Giải
Ta có (1) a2x2+ a2y2+b2x2+b2y2.
a2y2 - 2abxy+ b2x2 0
(ay-bx)2 0 (2)
Bất đẳng thức (2) được chứng minh nên bất đẳng thức (1) đúng.
a
b
Dấu “=” xảy ra ay-bx = 0
=
x
y
Ví dụ 4:
Cho các số tương đương a và b thoả mãn điều kiện a+b=1
1
1
CMR : 1
1
9
a
b
1
1
Ta có 1
1
9 (1)
a
b
a 1 b 1
9
a
b
ab+ a+ b+ 1 9ab
a+b+ 1 8ab
2 8ab (vì a+b =1)
1 4ab
(a+b)2 4ab
(a-b)2 0
Bất đẳng thức (2) đúng, mà phép biến đổi trên tương đương. Vậy bất đẳng
thức (1) được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b
Ví dụ 5:
2
a2 b2
a b
2
Chứng minh bất đẳng thức:
với a>0, b>0
2
10/ 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Giải
2
a2 b2
a b
2
(1)
2
4(a2+ b2) (a+b)2 (nhân cả hai vế với 8)
4(a+b)(a2-ab+b2) (a+b)(a+b)2 ( chia cả 2 vế cho a+b >0)
4a2 - 4ab + b2 a2 + 2ab + b2
3a2 - 6ab + 3b2 0
3(a-b)2 0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng mà phép biến đổi trên là tương đương nên bất đẳng
thức (1) đúng.
3.3. Chú ý:
Sẽ mắc sai lầm trong lời giải trên khi thay các dấu tương đương “ ” bằng
các dấu kéo theo “”
Thật vậy nếu (1) “” (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì chưa thể kết luận
được bất đẳng thức (1) có đúng hay không.
- Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, học sinh thường bỏ các biến đổi
tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì vậy cần lưu ý các
biến đổi tương đương có điều kiện.
Chẳng hạn: a2 > b2 a >b với a, b >0
m>n am > an , m, nZ, a>1
Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương.
3.4. Bài tập tự giải:
Bài 1: So sánh 2 số A= 3
3
-3 và B= 2
2
-1( không dùng máy tính)
Bài 2: Chứng minh rằng với 2 số nguyên dương x, y thoả mãn xy<1 thì :
1
1
2
+
1 x 1 y
1 xy
Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức:
2
2
a2 b2
+
c2 d 2
a b
c d
x
Bài 4: Chứng minh rằng x>1 ta có:
2
x 1
a
b
Bài 5: Với a, b> 0. Chứng minh bất đẳng thức:
-
a
b
-
b
a
Bài 6: Chứng minh rằng: a, b, c R ta có:
a) a4 b4 a3b+ab3
b) a2+ b2 + c2 ab+ bc +ca
4. Phương pháp phản chứng:
Gọi luận đề cần chứng minh là luận đề: “ A B” Phép toán mệnh đề cho
= A
ta: A B
=
A B =A
B
B
Như vậy muốn phủ định một luận đề ta ghép tất cả các giả thiết của luận đề
với phủ định kết luận của nó
Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng như sau:
a.1 Dùng mệnh đề phản đảo
B
A
a.2 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết.
11/ 31
Tải về để xem bản đầy đủ
31 trang
31/07/2025
281
Bạn đang xem 11 trang mẫu của tài liệu "SKKN Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_mot_so_phuong_phap_chung_minh_bat_dang_thuc.doc
