SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật
Toán học là một trong những môn học về khoa học tự nhiên. Trong các môn học ở trường THCS, môn Toán có vị trí rất quan trọng. Các kiến thức, kỹ năng của môn Toán ở THCS cũng được ứng dụng nhiều trong cuộc sống và trong các môn học khác.
Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
MỤC LỤC:
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................16
1
Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
PHẦN THỨ NHẤT – ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là một trong những môn học về khoa học tự nhiên. Trong các
môn học ở trường THCS, môn Toán có vị trí rất quan trọng. Các kiến thức, kỹ
năng của môn Toán ở THCS cũng được ứng dụng nhiều trong cuộc sống và
trong các môn học khác.
Chuyên đề về dãy số, dãy phân số viết theo quy luật là một bộ phận của chương
trình môn Toán cấp THCS. Thông qua các hoạt động dạy học toán tạo cơ hội
phát triển năng lực trừu tượng hoá, khái quát hoá trong học Toán; đồng thời tiếp
tục phát triển khả năng diễn đạt của học sinh theo mục tiêu của môn Toán ở
THCS.
Tuy nhiên qua nhiều năm giảng dạy môn Toán tôi nhận thấy các em thường hay
gặp nhiều khó khăn trong việc tìm dãy số, dãy phân số viết theo quy luật của
một biểu thức trong đó việc vận dụng các hằng đẳng thức các em làm sai rất
nhiều mà chuyên đề dãy số, dãy phân số viết theo quy luật là cơ sở để các em
học tiếp các chuyên đề chứng minh bất đẳng thức dãy …. Xuất phát từ những lí
do trên để giúp học sinh học tốt môn toán tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Một số
kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy
phân số viết theo quy luật ”. Qua đó để có thể học hỏi, trao đổi kinh nghiệm với
đồng nghiệp để nâng cao trình độ chuyên môn của bản thân
2
Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
PHẦN THỨ HAI – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1)CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Muèn n©ng cao chÊt l-îng d¹y båi d-ìng häc sinh giái to¸n th× tr-íc hÕt ph¶i
x©y dùng ®-îc mét néi dung hîp lý, khoa häc vµ nh÷ng ph-¬ng ph¸p gi¶ng d¹y
phï hîp, ph¸t triÓn ®-îc kh¶ n¨ng t- duy linh ho¹t, s¸ng t¹o cña häc sinh.
Qua thùc tÕ tham gia d¹y båi d-ìng häc sinh líp 6 cña tr-êng t«i thÊy
®-îc thùc tr¹ng viÖc d¹y häc vµ gi¶i to¸n n©ng cao cña gi¸o viªn vµ häc sinh cßn
nhiÒu vÊn ®Ò ph¶i quan t©m. §ã lµ: Néi dung d¹y båi d-ìng häc sinh giái ch-a
®¶m b¶o logic, gi¸o viªn khi nghiªn cøu tµi liÖu tham kh¶o thÊy bµi nµo hay th×
chän ®Ó d¹y cho häc sinh chø ch-a ph©n ®-îc d¹ng, lo¹i trong mçi m¹ch kiÕn
thøc. VÒ ph-¬ng ph¸p d¹y gi¶i c¸c bµi to¸n n©ng cao ch-a hîp lÝ, cã nh÷ng
ph-¬ng ph¸p gi¶i ch-a phï hîp víi ®Æc ®iÓm t©m lý vµ kh¶ n¨ng tiÕp thu cña häc
sinh; vÒ phÝa chuyªn m«n ch-a cã tµi liÖu chØ ®¹o cô thÓ vÒ néi dung vµ ph-¬ng
ph¸p d¹y båi d-ìng häc sinh giái To¸n ®Ó gi¸o viªn lÊy ®ã lµm c¬ së. Häc sinh
ch-a cã mét ph-¬ng ph¸p t- duy logic ®Ó gi¶i quyÕt c¸c d¹ng bµi tËp nhÊt lµ c¸c
bµi tËp vÒ d·y sè, dãy phân số viết theo quy luật... ChÝnh v× vËy, chÊt l-îng d¹y
båi d-ìng häc sinh giái ch-a cao.
§Ó tõng b-íc n©ng cao chÊt l-îng båi d-ìng häc sinh giái, t«i ®· chän ®Ò
tµi :” Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài
toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật“
2)THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Ngay từ đầu tháng 9 tôi đã tiến hành khảo sát học sinh chất lượng môn
toán
để chọn ra một số học sinh khá giỏi đủ tiêu chuẩn cho các em vào đội tuyển bồi
dưỡng học sinh giỏi.
Tổng số học sinh: 80 học sinh
Kết quả đạt được:
Điểm giỏi: 20 học sinh chiếm 25%
Điểm khá: 30 em chiếm 37,5%
Điểm trung bình: 20 em chiếm 25%
Điểm yếu, kém: 10 em chiếm 12,5%
Kết quả trên trung bình là: 87,5 %
3
Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
Căn cứ vào kết quả bài khảo sát của học sinh và tình hình thực tế tôi nhận thấy
có những thuận lợi và khó khăn sau.
•Thuận lợi:
Cơ sở vật chất và đồ dùng dạy học của nhà trường khá đầy đủ.
Học sinh có đầy đủ sách giáo khoa và đồ dùng học tập.
Nhà trường luôn tích cực trong những hoạt động nâng cao chất lượng.
Tập thể giáo viên đoàn kết có tinh thần tương trợ lẫn nhau.
Đa số học sinh có ý thức học tập tích cực
Phụ huynh học sinh luôn quan tâm ủng hộ việc học tập của con em mình.
•
Khó khăn
Do ảnh hưởng của môi trường xã hội nên một số học sinh còn mải chơi chưa
chịu khó học tập, gặp một dạng khó là các em dễ bị nản, dễ có tâm lý lười suy
nghĩ, lười vận động
3) BIỆN PHÁP, GIẢI PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Bước 1: Tiến hành khảo sát.
Bước 2: Đưa ra các kiến thức vận dụng.
Bước 3: Phân loại các dạng toán.
•
•
•
•
•
Hướng dẫn phương pháp giải
Xác định những sai lầm thường gặp
Đưa ra lời giải đúng
Khai thác bài toán dưới một dạng khác
Tổng quát hóa bài toán
Kiến thức vận dụng
1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số:
- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)
- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu.
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
2. Các phép tính của phân số:
a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu:
A
M
A
B
M
B
A B
M
(M
(M
0)
A B
M
0, A B)
M
M
b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:
- Quy đồng mẫu các phân số.
- Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung.
4
Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
A C A.C
c. Nhân các phân số:
.
(B, D
0)
0)
B D B.D
A C A.D
d. Chia 2 phân số:
:
(B, C, D
B D B.C
3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số:
a. Tính chất giao hoán:
a
c
c
a
- Phép cộng:
(b, d 0)
b
d
d
b
a c c a
- Phép nhân: . .
(b, d
0)
b d d b
b. Tính chất kết hợp :
a
c
m
a
c
m
- Phép cộng :
(b, d, n 0)
b
d
n
b
d
n
a c m a c m
- Phép nhân:
.
.
.
.
(b, d, n 0)
b d n b d n
c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ):
a
c m a m c m
.
.. .
(b, d, n 0)
b
d n b n d n
4. Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b
Tính chất:
- Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c thì a > c
- Tính chất đơn điệu của phép cộng:
Nếu a > b thì a + c > b + c
- Tính chất đơn điệu của phép nhân:
Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0)
- Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều:
Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d
5. Một số tính chất của bất đẳng thức:
1
1
n2
1
a.
n
n 1
n
n 1
1
1
1
1
b.
c.
k2
k
k 1
k 1 k
n 1
n
n
n
n 1
n 1
d.
n 2
n
5
Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
Dạng 1: Tính tổng của các dãy số viết theo quy luật.
Ví dụ 1: Tính tổng S100 1 2 3 4 5 6 ...... 100
Hướng dẫn:
Ta thấy số đầu cộng số cuối = 101 tương tự ta có số thứ 2 cộng số cuối 101...
Mà từ 1 đến 100 có 100 số vậy có 50 cặp có tổng 101
S100 101.2 5050
n
n 1
2
Tổng quát: Sn 1 2 3 4 ..... n
Ví dụ 2: Tính tổng S100 2 4 6 8 .... 100
100
100 2
2
Sai lầm thường gặp: S100
5100
Lời giải đúng:
100 2
Ta thấy tổng trên có
1 50 số hạng
2
Ta thấy số đầu cộng số cuối = 102 tương tự ta có số thứ 2 cộng số cuối 102...
Mà từ 2 đến 100 có 50 số vậy có 25 cặp có tổng 102
S100 102.25 2550
Ví dụ 3: Tính tổng S99 1 3 5 7 .... 99
Làm tương tự ví dụ 2 ta có
S 100.25 2500
99
Dạng 2: Dạng bài toán tính tổng của các tích, tổng của các lũy thừa
Ví dụ 1: Tính tổng:
A 1.2 2.3 3.4 ....... 98.99
B 1.2.3 2.3.4 ... 48.49.50
C 1.3 2.4 ... 98.100
D 12 22 32 .... 982
E 1.99 2.98 ...... 98.2 99.1
HDG:
3A 1.2.3 2.3.3 3.4.3 .... 98.99.3
1.2.
3 0
2.3.
4 1
3.4.
5 2
..... 98.99.
100 97
1.2.3 2.3.4 ... 98.99.100
98.99.100
1.2.3 2.3.4 .... 97.98.99
3A 98.99.100
A 33.98.100
6
Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 3 ta cã thÓ khai th¸c d-íi mét d¹ng kh¸c nh- sau:
Bài 1: Tính tổng
D 12 22 32 .... 982
1.1 2.2 3.3 ... 98.98
1
2 1
2
3 1
..... 98
99 1
1.2 2.3 3.4 .... 98.99
33.98.100 46.99
D 3393401
1 2 3 .... 98
B 1.2.3 2.3.4 ... 48.49.50
4B 1.2.3.4 2.3.4.4 ..... 48.49.50.4
4B 1.2.3. 4 0 2.3.4. 5 1 ..... 48.49.50
51 47
1.2.3.4 2.3.4.5 .... 48.49.50.51
4B 48.49.50.51
1.2.3.4 2.3.4.5 ... 47.48.49.50
B 12.49.50.51
Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 3 ta cã thÓ khai th¸c d-íi mét d¹ng kh¸c nh- sau:
Bài 2: Tính tổng
A 13 23 33 ..... 1003
Hướng dẫn giải
Sử dụng (n-1)n(n+1)=n3 n
n3 n (n-1)n(n+1)
A 1 2 1.2.3 3 2.3.4 ..... 99.100.101
1 2 3 ..... 100
1.2.3 2.3.4 ..... 99.100.101
5050 101989800 101994850
C 1.3 2.4 ... 98.100
1.
2 1
2
3 1
..... 98
99 1
1.2 2.3 ... 98.99 1 2 .. 98
33.98.100 46.99
C 3402799
Ví dụ 2: Tính tổng:
A=1.3+.3.5+5.7+.....+97.99
Hướng dẫn giải:
6A=1.3.6+3.5.6+5.7.6+…+97.98.6
=1.3.(5+1)+3.5(7-1)+5.7.(9-3)+.....+97.99.(101-95)
=3+1.3.5+3.5.7-1.3.5+3.5.7-5.7.9+.....+97.99.101
=3+97.99.101
A=161651
7
Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
Tõ kÕt qu¶ cña ví dụ 2 ta cã thÓ khai th¸c d-íi mét d¹ng kh¸c nh- sau:
Bài 1: Tính tổng: A= 1.3.5+3.5.7+5.7.9+.......+95.97.99
8A= 1.3.5.8+3.5.7.8+5.7.9.8+......+95.97.99.8
=1.3.5(7+1)+3.5.7(9-1)+5.7.9(11-3)+......+95.97.99(101-93)
A=11517600
Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 1 ta cã thÓ khai th¸c d-íi mét d¹ng kh¸c nh- sau:
Bài 2: Tính tổng: A=13 33 53 .... 993
Sử dụng (n-2)n(n+2)=n3 4n n3
n 2
n
n 2 4n
A=1+1.3.5+4.3+3.5.7+4.5+…..+97.99.101+4.99
=1+(1.3.5+3.5.7+…+97.99.101)+4(3+5+7+….+99)
=12497500
Ví dụ 3: Tính tổng:
TÝnh tæng: G= 3 + 32 + 33 + 34.....+32008
Lêi gi¶i:
3G = 32 + 33 + 34 +35.....+32009
2G = 3G – G = (32 + 33 + 34 +35.....+32009) – (3 + 32 + 33 + 34.....+32008
)
= 32009 – 3
32009 3
G=
2
Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n 1 thµnh bµi to¸n sau:
TÝnh tæng:
G= a + a2 + a3 + a4+…+an
(víi mäi a vµ n lµ sè nguyªn d-¬ng a
1)
Lêi gi¶i:
aG = a2 + a3 + a4 +a5+...+an
(a-1)G = aG – G = (a2 + a3 + a4 +a5+...+an+1) –( a + a2 + a3 + a4+....+an)
= an+1 – a
an1 a
a 1
G=
Tõ kÕt qu¶ cña Ví dụ 3 ta cã thÓ khai th¸c d-íi mét d¹ng kh¸c nh- sau:
Bài 1 : Tính tổng
B= 2100-299+298-297+…..+22
Suy ra 2B = 2101-2100+299-298+…+23-22suy ra
2B+B= 2101-2
8
Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
3B = 2( 2100-1)
Suy ra B = 2(2100-1)/3
9
Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
Dạng 3: Dạng bài toán khử liên tiếp
Ví dụ 1:
Tính tổng
1
1
1
1
99.100
1
a)
A =
....
.
1.2 2.3 3.4
1 1 1 1
1
1
1 1
1
1
1
Ta cã:
;
;
; …;
1.2 1 2 2.3 2 3
3.4 3 4
99.100 99 100
99
1 1
1 1
1
1
1
1
VËy A = 1+
....
1
2
2
3
3
99 99 100
100 100
Tõ kÕt qu¶ cña Ví dụ 1:ta cã thÓ khai th¸c d-íi mét d¹ng kh¸c nh- sau:
Tính tổng
1
1
1
1
F
...
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39
Sai lầm thường gặp:
1
1
1
1.2.3 1.2 2.3
Lời giải đúng
1
1 1
(
1.2.3 2 1.2 2.3
1
)
1
1
1
1
37.38.39
1
F
...
1.2.3 2.3.4 3.4.5
1
1
1
1
1
2F
.....
1.2 2.3 2.3 3.4
37.38 38.39
1
2
1
2F
F
38.39
Bài toán tương tự
Tính tổng:
1
1
1
G
.....
1.2.3.4 2.3.4.5
27.28.29.30
Tõ kÕt qu¶ cña các ví dụ trên ta cã thÓ khai th¸c d-íi mét d¹ng kh¸c nh- sau:
3
5
7
19
92.102
Bài 1: CMR:
..........
1
12.22 2232 32.42
HDG:
22 1 32 22
102 92
92.102
1
1
1
1
1
1
102
VT=
......
1
....
1
1
12.22
22.32
22 22 32
92 102
Bài 2: cho biểu thức
10
Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
1
1
1
A
...
1.2 3.4
7
99.100
5
6
CM. A
12
HDG:
1
1
1
A
...
=
1.2 3.4
99.100
1 1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
5
1
5
6
....
(1 )
....
....
1 2
3
1
4
1
99 100
2
1
3
1
100
1
4
1 1
1
1
1
1
7
1
1
7
....
1
...
1 2
3
4
99 100
2
3
5.6
99.100 12 5.6
99.100 12
Ví dụ 2:TÝnh tæng
1
1
1
1
52008
H =
..........
5
52 53
1
Ta cã thÓ tÝnh tæng H theo bµi to¸n 2 b»ng c¸ch ®Æt a th×
5
H = a + a2 + a3 + a4+…+a2008
Tuy vËy ta cßn cã c¸ch kh¸c phï hîp h¬n:
1
1
1
1
52007
5.H =1
..........
5
52 53
1
1
1
1
52007
1
1
1
1
52008
4H=5H –H = (1
..........
) –(
..........
)
5
52 53
52008 1
5
52 53
1
= 1-
=
52008
52008
52008 1
4.52008
H =
Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n 3 thµnh bµi to¸n sau:
TÝnh tæng
1
1
1
1
aa
H =
..........
(víi mäi a vµ n lµ sè nguyªn d-¬ng a
1)
a
a2 a3
Bµi gi¶i:
1
1
1
1
aa1
a.H= 1
..........
a
a2 a3
1
1
1
1
aa1
1
1
1
1
aa
(a-1)H = aH – H = (1
..........
) – (
..........
)
a
a2 a3
a
a2 a3
11
Tải về để xem bản đầy đủ
17 trang
13/07/2025
180
Bạn đang xem 11 trang mẫu của tài liệu "SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_mot_so_kinh_nghiem_giup_hoc_sinh_kha_gioi_nam_vung_mot.doc
