SKKN Một số dạng toán tích phân hàm ẩn
Xây dựng cơ sở lí thuyết và các dạng tích phân hàm ẩn cơ bản, từ đó rèn luyện và phát triển kĩ năng cũng như tư duy của học sinh để giải quyết các bài toán dạng này.
A. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Tên đề tài:
2. Lĩnh vực:
3. Tác giả:
Một số dạng toán tích phân hàm ẩn
Toán học
Trần Nữ Diệu Thùy
4. Đơn vị:
Trường THPT Vĩnh Linh, Quảng Trị
Năm học 2018-2019
5. Thời gian:
B. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong các đề thi THPT quốc gia từ kể từ năm học 2016 - 2017 trở lại đây, các
ab
f (x)dx
f x
câu hỏi trắc nghiệm về bài toán tính tích phân
của hàm số
nhưng
f x
f x
không cho biết biểu thức của
mà chỉ cho biết
thỏa mãn một số điều kiện
(được gọi là tích phân hàm ẩn) xuất hiện thường xuyên. Các câu hỏi này thường ở mức
vận dụng – vận dụng cao. Đây là một dạng toán khá mới mẻ, không chỉ với học sinh
mà còn đối với cả giáo viên, gây không ít khó khăn cho các em học sinh khi tiếp cận.
Hướng đến mục tiêu nâng cao điểm số thi THPT quốc gia cho các em học sinh
khối 12, đặc biệt là học sinh khá – giỏi, tôi đã nghiên cứu và xây dựng đề tài: “Các
dạng toán tích phân hàm ẩn”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng cơ sở lí thuyết và các dạng tích phân hàm ẩn cơ bản, từ đó rèn luyện
và phát triển kĩ năng cũng như tư duy của học sinh để giải quyết các bài toán dạng này.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các dạng câu hỏi tích phân hàm ẩn trong đề thi THPT quốc gia của Bộ giáo dục
và đề thi thử của các trường THPT trong cả nước.
4. Đối tượng khảo sát và thực nghiệm
Học sinh lớp 12A2, 12A3 trường THPT Vĩnh Linh năm học 2018 – 2019.
5. Phương pháp nghiên cứu
Kết hợp giữa nghiên cứu xây dựng lý thuyết (dựa trên sách giáo khoa, các đề thi
THPT quốc gia của Bộ giáo dục và đào tạo, các đề thi thử của các trường THPT trong
cả nước) và thực nghiệm trong quá trình giảng dạy.
6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu
a) Phạm vi nghiên cứu: Chương 3 – Giải tích 12 và các bài toán liên quan
trong các đề thi THPT quốc gia.
b) Kế hoạch nghiên cứu: Từ tháng 3/2018 đến tháng 5/2019.
- Tháng 3/2018: Chọn đề tài, lập đề cương.
- Tháng 4/2018 đến tháng 5/2019: Xây dựng cơ sở lý thuyết, phân dạng bài tập,
áp dụng trong giảng dạy thực tế và rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy.
- Tháng 5/2019: Viết và hoàn thành nội dung đề tài.
- 1 -
C. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Định nghĩa tích phân:
f x
a;b
F x
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
. Giả sử
là một nguyên hàm của
f x
a;b
a
b
f x
F b – F a
là hiệu số
trên đoạn
. Tích phân từ đến của hàm số
,
b
f (x)dx
.
kí hiệu là a
b
f (x)dx F(x) ba F(b) F(a).
Ta có: a
Chú ý:
b
b
ab f (x)dx a f (u)du a
f (t)dt
1)
(kết quả tích phân không phụ thuộc vào kí
hiệu của biến số).
b
b
f (x)dx.
2) a f (x)dx a
a
f (x)dx 0.
3) a
2. Các tính chất của tích phân
b
b
Tính chất 1:
Tính chất 2:
Tính chất 3:
(
k
là hằng số ).
k. f (x)dx k f (x)dx
a
a
b
b
b
.
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx
a
b
a
a
c
b
a c b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
c
3. Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp đổi biến số: Cho hàm số
hàm số x (t)có đạo hàm liên tục trên đoạn
f x
a;b
. Giả sử
liên tục trên đoạn
;
sao cho () a;() b và
t ;
a (t) b với mọi
.
b
f (x)dx f ((t)).' (t)dt
.
Khi đó:
a
b) Phương pháp tính tích phân từng phần: Nếu u u(x) và v v(x) là hai hàm
b
b
b
a
u(x)v' (x)dx (u(x)v(x)) u' (x)v(x)dx
a;b
số có đạo hàm liên tục trên đoạn
thì
hay
a
a
b
b
b
a
.
u dv uv vdu
a
a
- 2 -
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN.
Trước hết, ta cần định nghĩa về dạng toán tích phân hàm ẩn .
b
f (x)dx
nhưng chưa cho biết biểu thức
f x
thoả mãn một số điều kiện thì ta có thể gọi nó
Một số bài toán yêu cầu tính tích phân a
f x
của hàm số
mà chỉ cho biết
là tích phân hàm ẩn.
Mặc dù các dạng toán tích phân hàm ẩn cũng đã có mặt trong sách giáo khoa
nhưng chỉ ở mức độ cơ bản. Tuy nhiên dạng toán này trong các đề thi có độ khó cao,
đa số ở mức vận dụng – vận dụng cao nên học sinh thường giải sai hoặc bỏ qua các
câu hỏi thuộc dạng toán này. Mặt khác, các tài liệu tham khảo cho dạng toán này cũng
chưa nhiều. Do đó, cần xây dựng nền tảng lý thuyết và phân dạng cơ bản, cùng với hệ
thống bài tập tương ứng để hướng dẫn học sinh cách giải quyết các bài toán dạng này.
III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Áp dụng định nghĩa, tính chất của tích phân
3
04
f (z)dz 3,
f (x)dx 7.
Tính
Ví dụ 1 (Giải tích 12NC–trang 153): Cho biết
0
4 f (t)dt
.
tích phân 3
Giải:
3
3
4
f (x)dx 3
f (x)dx 7.
Đặt A = 0 f (z)dz 0
B 0
;
4
4
4
3
f (x)dx B A 4
C 3 f (t)dt 3 f (x)dx 0 f (x)dx 0
Suy ra
.
79
79
f (x)dx 5,
g(x)dx 4
Ví dụ 2: (Giải tích 12NC – trang 176). Cho biết
.
9
I 2 f (x) 3g(x) dx
Tính tích phân
.
7
Giải:
Áp dụng tính chất của tính phân ta có :
9
9
9
I
9 2 f (x)dx 9 3g(x)dx 2 f (x)dx 3 g(x)dx 2
7 2 f (x) 3g(x) dx 7
7
7
7
Nhận xét: Đây là dạng câu hỏi tương đối cơ bản, nằm ở mức độ thông hiểu nên
học sinh có thể dễ dàng đưa ra đáp án đúng.
f x
f ' x
0;1 ,
liên tục trên đoạn đồng thời
Ví dụ 3: Cho hàm số
có đạo hàm
1
f x
2 f x 3 f 1 x 1 x2 .
thỏa mãn
A. 0.
Giá trị của tích phân
C. 1.
bằng:
f ' x dx
0
1
2
3
B.
.
D.
.
2
- 3 -
Giải:
1
1
Ta có
f x dx f x f 1 f 0 .
0
0
2
5
f 0
2 f 0 3 f 1 1
Từ 2 f x 3 f 1 x 1 x2
.
3
2 f 1 3 f 0 0
f 1
5
1
3 2
Vậy
I f ' x dx f 1 f 0
1.
5 5
0
Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đã khéo léo biến đổi đề đưa về giải hệ
phương trình chứa f (0) và f (1) từ đó áp dụng định nghĩa của tích phân .
Dạng 2: Áp dụng tính chất của hàm số chẵn, hàm số lẻ
f x
a;a
Tính chất 1: Nếu
là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn
thì
thì
là
a
f (x)dx 0.
a
f x
a;a
Tính chất 2: Nếu
là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn
a
a
f (x)dx 2 f (x)dx.
a
0
f x
g x
1,1
f x
và
Ví dụ 1: Cho
và
là hai hàm số liên tục trên đoạn
1
1
g x
hàm số chẵn,
đây sai?
A.
là hàm số lẻ. Biết
và
. Mệnh đề nào sau
f x dx 5
g x dx 7
0
0
1
1
f x dx 10
2g x dx f (x) 14
.
B.
D.
.
.
1
1
1
1
f x g x dx 10
f x g x dx 10
1
C.
.
1
Giải:
1
1
(1);
f x dx 2 f x dx 10
1
0
1
1
1
(2)
g x dx g x dx g x dx 0
1
0
0
1
2g x dx f (x) 0
Từ (1) và (2) suy ra
.
1
Chọn B.
f x
g x
là hàm số lẻ nên có thể
Nhận xét: Do đề bài nêu rõ
là hàm số chẵn,
- 4 -
dễ dàng định hướng phương pháp giảivì đây là câu hỏi đơn giản, học sinh chỉ cần áp
dụng tính chất..
1
f x
f ' x
, x¡ \ 0
và thỏa mãn
Ví dụ 2: Cho hàm số
có đạo hàm
x3 x5
f 1 a, f (2) b.
f 1 f (2)
Tính
.
Giải:
2
2
1
f '(x)dx 0
f '(x)dx 0
f ' x
Ta thấy
là hàm số lẻ . Từ đó ta có:
.
1
Hay:
f (2) f (2) 0
f (1) f (1) 0
f (2) f (2) f (1) f (1) 0 f (2) f (1) f (2) f (1) a b.
Nhận xét: Để giải được bài toán này học sinh cần quan sát sự liên hệ giữa các giá
f ' x
trị của biến số như 1 và –1, 2 và –2; nhận dạng được
nắm được tính chất 1 để vận dụng giải toán. Học sinh cũng có thể tính nguyên hàm để
f x
là hàm số lẻ, đồng thời
tìm biểu thức của
tuy nhiên cách này phức tạp hơn nhiều.
f x
1;6 .
Biết rằng
Ví dụ 3: Cho hàm số
là hàm số chẵn, liên tục trên
2
3
6
f x dx 8
f 2x dx 3.
f x dx.
I
Tính tích phân
và
1
1
1
A. I 2.
Giải.
B. I 5.
C. I 11.
D. I 14.
3
3
là hàm số chẵn nên f 2x dx f 2x dx 3.
f x
Vì
1
1
3
x 1 t 2
x 3 t 6
K f 2x dx 3.
.
Xét
Đặt
t 2x dt 2dx.
Đổi cận:
1
6
1 6
1 6
K
f t dt
Khi đó
Vậy
2
2 f x dx f x dx 2K 6.
2
2
2
6
2
6
I f x dx f x dx f x dx 8 6 14.
1
1
2
Chọn D.
Dạng 3: Áp dụng phương pháp đổi biến số
y f x
f x 2018 f x ex
. Tính
Ví dụ 1. Cho hàm số
liên tục trên
¡
và
1
f x dx
I
.
1
- 5 -
e2 1
2019e
e2 1
2018e
e2 1
e
A. I
.
B. I
.
C. I 0
.
D. I
.
Giải:
Đặt t x dt dx
x 1 t 1
.
Đổi cận:
x 1 t 1
1
1
1
f x dx
I f t dt f t dt
(2).
1
1
1
1
1
1
1
e2 1
e
I 2018I f x 2018 f x dx 2019I exdx ex e
1
e
1
1
e2 1
2019e
I
.
Chọn A.
Nhận xét:
1) Quan sát mối liên hệ giữa hai cận là 1 và –1, hai biến
định hướng đổi biến t = –x.
x
và x nên có thể
bằng cách từ
f x
2) Với bài toán này, ta có thể tìm được biểu thức của hàm số
f x 2018 f x ex
x
x
ta có
f x 2018 f x ex
(2).
giả thiết
(1), thay bởi
ex ex
ex ex
2
x
x
Từ (1) và (2) suy ra
(2018 1) f (x) e e f (x)
(20182 1) 2019.2017
y f x
Ví dụ 2: Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn
a
dx
f x 0,x 0;a a 0
f x . f a x 1
, tính tích phân
(
). Biết
.
I
1 f x
0
a
a
a
A. I
.
B. I 2a
.
C. I
.
D. I
.
2
3
4
a
dx
1 f x
Giải:
(1)
I
0
Đặt t a x dt dx
x 0 t a
x a t 0
.
Đổi cận:
0
a
a
dt
1
1
(2)
dx
I
1 f a t
dt
1 f a t
1 f a x
a
0
0
a
1
1
Từ (1) và (2) 2I
dx
1 f x 1 f a x
0
- 6 -
a
1 f a x 1 f x
1 f x . f a x f x f a x
dx
0
a
a
2 f a x f x
2 f a x f x dx dx a
0
0
a
I . Chọn A
2
Nhận xét: Dựa vào phép đổi biến đặt t = a + b – x, ta có thể chứng minh được
b
ab f (x)dx a
f x
a;b
f (a b x)dx
rằng nếu
liên tục trên đoạn
thì
, từ đó giải
1;2
và thỏa mãn
quyết các câu hỏi tương tự ví dụ trên.
f x
Ví dụ 3: Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn
2
2
f ' x
f x 0,x 1;2
f ' x dx 10
f 2
. Tính
và
.
. Biết
dx ln 2
f x
1
1
f 2 10
f 2 20
f 2 10
f 2 20
D.
A.
.
B.
.
C.
.
.
Giải:
2
2
f ' x dx f x f 2 f 1 10
.
Ta có:
1
1
2
2 d( f (x))
2
f 2
f 1
f ' x dx
.
ln f x ln f 2 ln f 1 ln
ln 2
1
f x
f x
1
1
f 2 f 1 10
f 2 20
f 2 20
Vậy ta có hệ:
. Vậy
.
f 2
2
f 1 10
f 1
Chọn B
Nhận xét: Học sinh có thể sử dụng phép đổi biến số đặt t = f(x).
f x
1
4 f 3 x f x x,x¡ .
Ví dụ 4: Cho hàm số
thỏa
Tính
.
I f x dx
0
1
2
5
1
D. .
2
A. 0.
B.
.
C.
.
16
Giải:
x 0 t 0
t f x
Đặt
ta được 4t3 t x do đó (12t2 1)dt dx . Đổi cận
1
x 1 t
2
1
2
5
I t.(12t2 1)dt
Suy ra
Chọn C.
.
16
0
- 7 -
t f x
Nhận xét: Mấu chốt của bài toán là cách đổi biến đặt
. Học sinh còn
có thể lúng túng với việc đổi cận, quên đổi cận hoặc không biết tìm cận của t.
Ví dụ 5: Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên
¡
đồng thời
8
f (x5 4x 3) 2x 1, x¡ .
bằng
Tích phân ò f (x)dx.
- 2
32
A. 2.
B. 10.
C.
.
D. 72.
3
Giải:
Đặt x t5 4t 3, suy ra
4
dx 5t 4 dt.
x 2 t 1
x 8 t 1
8
1
1
f t5 4t 3 5t4 4 dt 2t 1 5t4 4 dt 10.
f x dx
Khi đó
2
1
1
Chọn B.
Nhận xét: Quan sát giả thiết f (x5 4x 3) 2x 1 và tích phân cần tính ta phán
đoán được cách đặt x t5 4t 3.Khi đó ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ
việc giải cận (vì việc giải phương trình bậc 5 không đơn giản, dù là có nhẩm được
nghiệm), với lưu ý x(t) t5 4t 3 có đạo hàm x'(t) 5t4 4 0,t ¡ nên hàm số
phương trình
(với C là hằng số) có tối đa một nghiệm.
x t C
Dạng 4: Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần
f x
2;3
và
Ví dụ 1: Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn
3
3
x 2 f ' x dx a f 3 b
f x dx
a
b
theo và .
. Tính tích phân
,
2
2
A. a b
.
B. b a
.
C. a b
.
D. a b .
Giải:
du dx
v f x
u x 2
Đặt
dv f x dx
3
3
3
3
3
a
f x dx f (3) f x dx b f x dx.
x 2 f x dx x 2 f x
2
2
2
2
2
3
f x dx b a.
Suy ra
2
Chọn B.
- 8 -
Nhận xét: Rõ ràng ta không thể đặt u f '(x) , nếu không sẽ có du f ''(x)dx
gây bế tắc cho việc giải quyết bài toán. Hơn nữa việc đặt dv f '(x)dxlà thuận lợi cho
việc tìm v, từ đó có v f (x).
f x
0;2
thỏa mãn
Ví dụ 2: Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên đoạn
4
02
I 0
f x dx 3
f 2 2
f
x dx
và
. Tính
.
A. I 2
.
B. I 3
.
C. I 5
.
D. I 1.
Giải:
x 4 t 2
x 0 t 0
Đặt t x t2 x 2tdt dx. Đổi cận:
.
u 2t
du 2dt
2
I 0
2t. f t dt
Khi đó:
. Đặt
.
dv f t dt
v f t
2
2
I 2t. f t 2 2 f t dt 4 f 2 2 f x dx 8 6 2
Suy ra:
.
0
0
0
Chọn A.
Nhận xét: Với bài này, ta sử dụng phương pháp đổi biến để làm rõ và đơn giản
hóa giả thiết, từ đó áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần.
Ví dụ 3: ( Đề tham khảo 2018 – BGD)
y f x
0;1
và thỏa mãn
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn
1
2
1
1
1
f (x) dx 7, x2 f (x)dx .
f (x)dx.
Tính tích phân
f 1 0,
3
0
0
0
7
7
4
A.
B.
1
C.
D.
4
5
Giải:
x3
dv x2dx v
.
u f x du f x dx
Đặt
,
3
1
1
1
3
1
3
x3
x3
3 f x dx x f x dx 1
Ta có
f x
3
0
0
0
1
1
1
1
2
2
3
3
49x6dx 7,
7x f (x) dx 0
Do
f (x) dx 7, 2.7x . f x dx 14
0
0
0
0
7x4
7
3
7x f (x) 0 f x
C , mà f 1 0 C
4
4
1
1
7x4
7
4
7
f (x)dx
dx . Chọn A.
4
5
0
0
1
1
2
3
Nhận xét: Do giả thiết
cùng với kết quả
gợi ý
f (x) dx 7
x f x dx 1
0
0
- 9 -
u a.x3; v b. f ' x
cho ta nghĩ đến hằng đẳng thức (u v)2 u2 2uv v2 với
để
2
1
3
3
ax bf x 0.
ax bf x dx 0 từ đó suy ra
Sau khi tìm được a,b ta dễ dàng tìm
0
f x
được biểu thức của
.
f x
Dạng 5: Tìm biểu thức của hàm số
4 4
f x
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 f x 2 f x tan2 x
liên tục trên đoạn ;
và thỏa mãn điều kiện
4
. Tính tích phân
f x dx
.
4
2
p
B. - 1
2
4
p
A. 1
.
.
C. 1
.
D. 2-
.
2
Giải:
3 f x 2 f x tan2 x
1
( )
Theo đề bài, ta có
x = - x Þ 3 f x - 2 f - x = tan2 - x = tan2 x
2
Thay
( )
( )
( )
1
2
f x = tan2 x
suy ra:
( )
Từ
và
( )
4
4
4
4
tan2 xdx 2 tan2 xdx 2 1+tan x 1 dx
2
I f x dx
4
0
0
4
p
p
4
0
hay I = 2 tan x - x = 2-
.
(
)
2
Chọn D.
Ví dụ 2:
f x
0;1
[ ]
f x 2 f 1 x 3x2 6x
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
,
1
" x Î 0;1
[ ]
f 1- x2 dx
I = ò
. Tính tích phân
.
(
)
0
4
2
2
I
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
I = -
I =
I = 1
15
15
15
Giải:
Ta có:
f x 2 f 1 x 3x2 6x (1)
f 1 x 2 f x 3(1 x)2 6(1 x) 3x2 3 (2)
Thay x thành 1 x ta có
f x + 2 f 1- x = 3x2 - 6x
2
ì
ï
f x 2 f 1 x 3x 6x
( )
( )
ï
í
ï
ï
Xét hệ phương trình:
Û
2
2 f x f 1 x 3x2 3
4 f x + 2 f 1- x = 6x - 6
( ) ( )
ï
î
- 10 -
2
Þ 3 f x = 3x2 + 6x - 6
" x Î 0;1
[ ]
,
.
Û f x = x + 1 - 3
( ) ( )
( )
Khi đó f 1 x2 2 x2 2 3 x4 4x2 1
.
æ
x
ç
è
ö1
1
1
5
4x3
2
÷
ç
I = ò
ò
÷
Suy ra
f 1- x2 dx
=
x4 - 4x2 + 1 dx
=
-
+ x÷
.
(
)
(
)
ç
ç
÷
5
3
15
ø0
0
0
Chọn C.
Nhận xét: Hoặc có thể xét
f x 2 f 1 x 3x2 6x
x
(1), từ đó thay
thành
1 x để có f 1 x 2 f x 3(1 x)2 6(1 x) 3x2 3(2). Từ (1) và (2) ta có thể tìm
f x
Rabiểu thức của
.
y f x
¡ \ 0; 1
thỏa mãn điều kiện
Ví dụ 3: Cho hàm số
liên tục trên
2
f 1 2ln 2
x x 1 . f x f x x 3x 2
f 2 a bln3
. Giá trị , vớia,b¤
và
.
.
Tính a2 b2
.
25
9
5
13
.
A.
B.
.
C.
.
D.
4
2
2
4
Giải:
2
x x 1 . f x f x x 3x 2
Từ giả thiết, ta có
1
x 2
x(x 1)
f x
f x
x x 1
x
1
x 2
x 1
. f x
f x
2
x 1
x 1
x
x 2
x 1
. f x
, với x¡ \ 0; 1
.
x 1
x
x
x 2
1
Suy ra
. f x
dx 1
dx hay
. f x
x ln x 1 C
.
x 1
x 1
x 1
x 1
x
f 1 2ln 2
C 1
. f x x ln x 1 1
Mặt khác, ta có
nên
. Do đó
.
x 1
2
3
3
3
3
2
Với x 2 thì . f 2 1 ln3
f 2 ln3. Suy ra a và b
.
3
2
2
2
9
Vậy a2 b2 . Chọn B
2
Nhận xét:
y f x
¡ \ 0; 1
1. Với
liên tục trên
, ta nghĩ đến hướng chia hai vế cho
- 11 -
Tải về để xem bản đầy đủ
16 trang
05/09/2024
680
Bạn đang xem 11 trang mẫu của tài liệu "SKKN Một số dạng toán tích phân hàm ẩn", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_mot_so_dang_toan_tich_phan_ham_an.docx
