SKKN Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

MỤC LỤC

Tên đề mục

Trang

MỤC LỤC

1

2

4

5

PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ

PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1. Những nội dung lí luận liên quan

2. Thực trạng vấn đề

3. Các biện pháp tiến hành

3.1. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng

đối tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể.

3.1a. Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp

3.1b. Chỉnh hợp

5

6

7

9

3.1c. Hoán vị

3.1d. Tổ hợp

3.1e. Một số dạng bài tập

10

32

3.2.Thực hiện giảng dạy theo phương pháp mới là hướng người học

làm trung tâm.

32

3.3. Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trong quá trình

giảng dạy trên lớp để các em thêm tự tin, hứng thú học tập.

4. Kết quả thực hiện

Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị

Tài liệu tham khảo

33

34

35

1

PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

1) THCS: trung học cơ sở

2) THPT: trung học phổ thông

3) SKKN: sáng kiến kinh nghiệm

2

PHẦN THỨ NHẤT

ĐẶT VẤN ĐỀ

Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về đại số tổ hợp (chỉnh hợp,

hoán vị, tổ hợp,... tôi thấy hệ thống bài tập SGK, SBT do Bộ giáo dục – Đào tạo ấn

hành còn đơn điệu, chưa sâu, chưa đáp ứng đủ yêu cầu của dạng toán này. Bởi trên

thực tế bài tập về đại số tổ hợp rất đa dạng, phong phú (chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp)

và là một loại toán khó của Đại số THCS. Khi dạy phần này, nhất là đối với học

sinh khá, giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn các dạng bài

tập, các ví dụ ...Vì thế mà nội dung giảng dạy chưa có hệ thống, chưa chuyên sâu.

Là giáo viên chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khóa” để

giải từng dạng bài tập.

Chính vì nhìn thấy tầm quan trọng của việc khải thác có hệ thống các đơn vị

kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan và được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận

tình của tập thể giáo viên dạy bộ môn Toán trong nhà trường, tôi mạnh dạn đi sâu

suy nghĩ khai thác và đúc kết thành sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng bài tập

áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” trong dạy

học.

PHẦN THỨ HAI

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1. Những nội dung lý luận liên quan

1.1.Cơ sở lý luận:

Muốn đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chương trình

cải cách và nội dung SGK mới thì giáo viên trước hết phải dạy cho học sinh những

tri thức, phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cách suy

luận, biết cách tìm lại những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới. Bên cạnh đó

đòi hỏi học sinh phải cố gắng, có trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nghiên cứu

kiến thức mới. Muốn dạy cho học sinh nắm được những tri thức về phương pháp

học tập thì người giáo viên phải thường xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề, một đơn vị

kiến thức đặt ra trước mắt theo cách nào, theo hướng nào, để học sinh hiểu và vận

dụng hiệu quả cao hơn.

3

1.2. Cơ sở thực tiễn:

Trong chương trình toán THCS và THPT thì đại số tổ hợp vẫn luôn là một đề

tài hay và khó đối với học sinh . Các bài toán về đại số tổ hợp thường xuyên có mặt

tại các kì thi. Đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi các khối lớp ở THCS. Đây là

một dạng bài tập tương đối khó và chỉ áp dụng vào đối tượng học sinh khá, giỏi. Vì

vậy, qua quá trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tôi đã tích luỹ được một số

kinh nghiệm với mong muốn giúp các em học sinh khá, giỏi, đặc biệt là học sinh

lớp 6 làm quen với dạng toán này, bước đầu hình thành cho mình một số vấn đề cơ

bản và một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp.

2. Thực trạng vấn đề

Trong chương trình bộ môn toán cấp THCS nhiều bài tập, đặc biệt là các bài

thi đối với học sinh giỏi có liên quan rất nhiều đến đại số tổ hợp, nhưng thời lượng

chương trình dành cho học sinh vận dụng không nhiều. Các dạng toán áp dụng đại

số tổ hợp tương đối trừu tượng, khó nên học sinh ngại học, ngại nghiên cứu các

dạng toán này. Ngoài ra tài liệu chuyên sâu về việc áp dụng đại số tổ hợp trong giải

toán chưa nhiều, còn rất thiếu và chưa có hệ thống. Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu

và có khả năng vận dụng kiến thức vào giải các bài tập liên quan nên tôi đã mạnh

dạn thực hiện sưu tầm, lựa chọn một số dạng bài tập áp dụng về đại số tổ hợp và

tiến hành nghiên cứu trong đề tài: “Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp

trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” giúp cho việc dạy và học, bồi

dưỡng học sinh khá, giỏi đạt kết quả cao.

3. Các biện pháp tiến hành

3.1. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng đối

tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể.

3.1.a. Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp:

3.1.a1. Quy tắc nhân:

Giả sử một hành động H được tiến hành gồm k giai đoạn liên tiếp. Ở giai

đoạn 1 có m₁cách chọn, ở giai đoạn 2 có m₂cách chọn,..., ở giai đoạn k có m_kcách

chọn (với m₁;m₂;...;m_k N^*) . Khi đó có tất cả: m₁m₂...m_kcách chọn để thực hiện

hành động H.

4

Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C, biết rằng từ A đến C có 3 đường đi và từ C

đến B có 2 đường đi. Như vậy có 3.2 = 6 đường đi từ A đến B

3.1.a2. Quy tắc cộng:

Một hành động H được tiến hành gồm k hành động H₁, H₂, ...,H_kđộc lập

nhau và mỗi hành động H_icó m_icách chọn. Khi đó hành động H sẽ có m₁+ m₂+

m₃+ ....+m_kcách chọn.

Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C và D. Biết rằng từ A đến C có 3 đường đi, từ C

đến B có 2 đường đi, từ A đến D có hai đường đi và từ D đến B có 4 đường đi. Hỏi

có bao nhiêu đường đi từ A đến B, biết rằng giữa C và D không có đường đi.

Bài giải:

Từ A đến B qua C có: 3.2 = 6 đường đi

Từ A đến B qua D có : 2.4 = 8 đường đi

Vậy từ A đến B có tất cả: 6 + 8 = 14

đường đi

3.1.a3. Chỉnh hợp lặp:

a) Định nghĩa: cho tập hợp X gồm n phần từ. Một dãy có độ dài m các phần

tử của X, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tự

nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử.

m

Kí hiệu chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử là F_n

Ví dụ: các dãy: (a, a, d); (b, d, d); (d, a, b);....; là các chỉnh hợp lặp chập 3 của 4

phần tử của tập hợp {a, b, c, d}

b) Định lí: F_n^m n^m

5

3.1.b. Chỉnh hợp:

3.1.b1. Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) lấy ra k phần tử

(1 ≤ k ≤ n) và sắp xếp k phần tử này theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp

chập k của n phần tử.

3.1.b2. Công thức: Tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

Ta có n cách chọn phần tử đứng đầu, có n – 1 cách chọn phần tử thứ hai, có

n – 2 cách chọn phần tử thứ ba,..., có n – (k – 1) cách chọn phần tử đúng thứ k. Do

đó chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

n!

A_n^k

 n(n 1)(n  2)...(n  k 1)

(n  k)!

3.1.b3. Tính chất:

Nếu k = 1 thì A_n¹

Nếu k = n thì A_nⁿ

n!

 n

(n 1)!

n!

 n!

(n  n)!

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ khác nhau, lập bởi ba chữ

số trong năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

Bài giải:

Các số phải đếm có dạng: abc

Có 5 cách chọn chữ số a (là 1, 2, 3, 4, 5)

Với mỗi cách chọn a, có 4 cách chọn b (là 1, 2, 3, 4, 5 nhưng khác a)

Với mỗi cách chọn ab , có 3 cách chọn c (là 1, 2, 3, 4, 5 nhưng khác a và b)

Vậy có tất cả: 5.4.3 = 60 (số phải đếm)

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách xếp thứ tự nhất, nhì, ba trong sáu đội bóng thi đấu?

Bài giải:

Có 6 cách xếp đội đứng thứ nhất

Với mỗi cách trên, có 5 cách xếp đội đứng thứ nhì

Với mỗi cách xếp nhất, nhì, có 4 cách xếp đội đứng thứ ba

Vậy số cách xếp phải tìm là: 6.5.4 = 120 cách xếp.

3.1.c. Hoán vị:

6

3.1.c1. Định nghĩa: Mỗi cách sắp đặt các phần tử của tập hợp A gồm n phần

tử

(n ≥ 1) theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử.

Kí hiệu: số hoán vị của n phần tử là: P_n

3.1.c2. Công thức: Tính số hoán vị của n phần tử:

Số hoán vị của n phần tử cũng là số chỉnh hợp chập n của n phần tử. Do đó

số hoán vị của n phần tử bằng tích của n thừa số.

P_n= n! = 1.2.3.....(n – 2).(n – 1) .n

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách gọi tên tam giác có ba đỉnh là A, B, C?

Bài giải:

Có 3 cách chọn đỉnh đầu tiên (là A, B, C)

Với mỗi cách chọn trên, có 2 cách chọn đỉnh thứ hai.

Với mỗi cách chọn 2 đỉnh trên, có 1 cách chọn đỉnh thứ ba

Vậy có tất cả: 3.2.1 = 6 cách gọi tên

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách giao hoán các thừa số của tích abcd?

Bài giải:

Có 4 cách chọn số đứng đầu (a)

Với mỗi cách chọn a, có 3 cách chọn thừa số thứ hai b

Với mỗi cách chọn 2 số trên, có 2 cách chọn thừa số thứ ba c

Với mỗi cách chọn 3 thừa số trên, có 1 cách chọn thừa số thứ tư d

Vậy có tất cả: 4.3.2.1 = 24 (cách giao hoán)

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 5 người ngồi:

a) Trên một ghế dài

Bài giải:

b) Chung quanh một bàn tròn

a) 5 người ngồi trên một ghế dài chính là hoán vị của 5

Nên có tất cả: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cách xếp

7

b) Khác với ngồi trên một ghế dài, người đầu tiên ngồi quanh bàn tròn có thể

ngồi ở vị trí nào cũng được. Còn lại 4 người , có 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp chỗ.

Vậy tất cả có 24 cách xếp chỗ.

3.1.d. Tổ hợp:

3.1.d1. Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập hợp con của A

gồm k phần tử (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Kí hiệu: tổ hợp chập k của n phần tử là: C_n^k

3.1.d2. Công thức: Tính số tổ hợp chập k của n phần tử

Trước hết ta đếm số các nhóm có k phần tử trong n phần tử đã cho, nếu các

phần tử được xếp theo thứ tự, đó chính là chỉnh hợp chập k của n phần tử

n(n – 1)(n – 2)...(n – k + 1)

Do yêu cầu k phần tử được xếp theo thứ tự nên mỗi nhóm đã được tính k! lần

Vậy số tỏ hợp chập k của n phần tử là:

n!

n(n 1)(n  2)...(n  k 1)

k!

C_n^k



k!(n  k)!

Đặc biệt, số tổ hợp chập 2 của n phần tử là: n(n – 1) : 2

Số tổ hợp chập 3 của n phần tử là: n(n – 1)(n – 2) : 6

3.1.d3. Tính chất:

a)C_n⁰ C_nⁿ1

b)C^k_n C_n^nk

n  k 1

c)C_n^k C_n^k_1 C^k1

d)C^k_n

.C_n^k1(1 k  n)

n1

k

Ví dụ 1: Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu là hai điểm trong năm điểm đã cho?

Bài giải:

Qua một điểm ta nối được 4 đoạn thẳng với 4 đoạn thẳng còn lại. Có tất cả 5

điểm nên kẻ được: 4.5 = 20 (đoạn thẳng)

Do mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần nên số đoạn thẳng là 20 : 2 = 10

Ví dụ 2: Cho 9 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.

Có bao nhiêu tam giác mà đỉnh là ba trong chín điểm ấy?

Bài giải:

8

Có 9 cách chọn đỉnh thứ nhất

Với mỗi đỉnh trên, có 8 cách chọn đỉnh thứ hai

Với mỗi cách chọn hai đỉnh trên, có 7 cách chọn đỉnh thứ ba

Do mỗi tam giác đã được tính 3! lần nên số tam giác có được là:

9.8.7

 84

3!

Ví dụ 3: Có m đường thẳng đứng và n đường thẳng nằm ngang đôi một cắt nhau.

Chúng tạo thành bao nhiêu hình chữ nhật? (Hình vuông cũng là một hình chữ nhật)

Bài giải:

Số cặp đường thẳng đứng là số tổ hợp chập 2 của m phần tử và bằng:

m(m 1)

2

Số cặp đường thẳng nằm ngang là số tổ hợp chập 2 của n phần tử và bằng:

n(n 1)

2

Mỗi cặp đường thẳng đứng và một cặp đường thẳng nằm ngang cắt nhau tạo

thành một hình chữ nhật

mn(m 1)(n 1)

Vậy có tất cả:

hình chữ nhật

4

Ví dụ 4: Trong số 4 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán, lập ra một nhóm

gồm 7 học sinh, trong đó có ít nhất 2 học sinh giỏi Văn. Hỏi có bao nhiêu cách lập

nhóm?

Bài giải:

Số cách chọn 2 trong 4 học sinh giỏi Văn là số tổ hợp chập 2 của 4 phần tử

và bằng:

4.3 : 2 = 6

Chọn xong 2 học sinh trên, còn 2 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán,

cần chọn 5 người trong số 11 học sinh, đó là số tổ hợp chập 5 của 11 phần tử và

11.10.9.8.7

bằng:

 462

5!

Vậy có tất cả: 6. 462 = 2772 (cách lập nhóm)

3.1.e. Một số dạng bài tập

3.1.e1. Áp dụng đại số tổ hợp trong số học:

9

Dạng 1: Các bài toán liên quan đến phép đếm, tính số phần tử của tập hợp.

Phương pháp giải: Xác định đúng dạng bài tập nói về chỉnh hợp, hoán vị hay

tổ hợp để áp dụng công thức và tính toán phù hợp.

Bài toán 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10

Bài giải:

Gọi số cần tìm là: abcde (Trong đó a, b, c, d, e là các số tự nhiên)

Vì số đó chia hết cho 10 nên có 1 cách chọn e là e = 0

Vì a là chữ số hàng chục nghìn nên a có 9 cách chọn (a có thể từ 1 đến 9)

Với mỗi cách chọn a, e ta có 8 cách chọn b (b có thể từ 0 đến 9 nhưng phải

khác a, e)

Với mỗi cách chọn các số trên, có 7 cách chọn c (c có thể từ 0 đến 9 nhưng

phải khác a,b,e)

Với mỗi cách chọn các số trên, có 6 cách chọn d (d có thể từ 0 đến 9 nhưng

phải khác a, b, c, e)

Vậy tất cả có: 9.8.7.6.1 = 3024 số cần tìm (theo quy tắc nhân)

Bài toán 2: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau

Bài giải:

Gọi số cần tìm là: x  abcd (Với a, b, c, d là các số tự nhiên)

Vì x là số lẻ nên d có 5 cách chọn (d 

Do a là chữ số hàng nghìn nên a có 8 cách chọn (a có thể từ 1 đến 9 nhưng

phải khác d)

Với mỗi cách chọn 2 số trên, có 8 cách chọn b (b có thể từ 0 đến 9 nhưng

phải khác a,d)

Với mỗi cách chọn 3 số trên, có 7 cách chọn c (c có thể từ 0 đến 9 nhưng

phải khác a,b,d)



1,3,5,7,9



)

Vậy có tất cả: 5.8.8.7 = 2240 số cần tìm (theo quy tắc nhân)

Bài toán 3: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số và chia hết cho 9?

10

Bài giải:

Gọi số cần tìm là x  abcdeg (với a, b, c, d, e, g là các số tự nhiên)

Vì x là số lẻ nên có 5 cách chọn g ( g 



1,3,5,7,9



)

Các số b, c, d, e mỗi chữ số đều có 10 cách chọn (từ 0 đến 9)

Lấy tổng các chữ số T = b + c + d + e + g chia cho 9. Nếu T chia cho 9 được

dư là 0, 1, 2, ...,8 thì a chọn tương ứng là 9, 8, 7, ..., 1, ta sẽ có x chia hết cho 9

Vậy có tất cả: 5.10⁴= 50000 số lẻ gồm 6 chữ số và chia hết cho 9

Bài toán 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của

mỗi số là một số lẻ?

Bài giải:

Xét một số tự nhiên gồm 4 chữ số: abcd (Với a, b, c, d là các Số tự nhiên)

Nếu a + b + c + d là một số chẵn thì lấy một số e

+ d + e là số lẻ. Khi đó có 5 cách chọn e



1,3,5,7,9 để được tổng a + b + c



Nếu a + b + c + d là số lẻ thì lấy e

lẻ. Khi đó e cũng có 5 cách chọn



0,2,4,6,8 để được tổng a + b + c + d + e là số



Do đó số abcd có 9.10.10.10 = 9. 10³cách chọn

Vậy có tất cả: 5.9.10³= 45000 số thỏa mãn đề bài

Bài toán 6: Có bao nhiêu số có 6 chữ số mà:

a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?

b) Chữ số đầu và chữ số cuối khác nhau?

c) Số có hai chữ số đầu và số có hai chữ số cuối giống nhau?

Bài giải:

a) Số cách chọn 4 chữ số ở giữa là chỉnh hợp lặp chập 4 của 10 phần tử

4

Nên ta có F₁₀= 10⁴cách chọn

Vậy có 9.10⁴= 90000 số có 6 chữ số mà chữ số đầu và cuối giống nhau.

b) Tương tự có F ⁶ F ⁵ 9.10⁵số có 6 chữ số.

10

11