SKKN Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

MỤC LỤC:

PHẦN I : ĐẶT VẤN Đ Ề .....................................................................................2

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .....................................................................3

2.1.Cơ sở lý luận :.................................................................................................3

2.2. Thực trạng của vấn đề :................................................................................3

2.3.Các biện pháp mới đã thực hiện để giải quyết vấn đề. ..............................3

2.4.Hiệu quả của SKK N ......................................................................................7

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ .............................................................7

3.1.Kết luận :........................................................................................................7

3.2. Kiến nghị:......................................................................................................7

TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................7

1

Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình môn toán ở trường THCS ta thấy bài tập toán rất

nhiều và đa dạng.

“ Giải toán là một nghệ thuật thực hành, giống như bơi lội, trượt tuyết,

hay chơi đàn, có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu

mực đúng đắn và thường xuyên thực hành.Không có chìa khoá thần kỳ để mở

mọi cửa ngõ, không có hòn đá thần kỳ để biến mọi kim loại thành vàng ”.

( Đề - Các và Leibnitz )

Tìm được lời giải hay của bài toán tức là đã khai thác được những đặc

điểm riêng của bài toán. Điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến

rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi”.

( Polia-1975 )

Giải bài tập toán là quá trình suy luận, nhằm khám phá ra quan hệ logic

giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận). Nhưng các quy tắc suy

luận cũng như các phương pháp chứng minh chưa được dạy tường minh. Do đó

học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập .

Phương pháp chung tìm lời giải bài toán là :

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Trong bước 4 một công việc ít được thực hiện đó là:

Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Đó là

khai thác bài tập toán.

Thực tiễn dạy học cũng cho thấy để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá

trình luyện tập.

Tuy rằng không phải là cứ giải nhiều bài tập là có kỹ năng. Việc luyện tập

sẽ có hiệu quả nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loại bài

tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó. Trong quá trình giảng dạy

giáo viên cần khai thác các bài tập trong sách giáo khoa giúp học sinh hiểu sâu

kiến thức, có kỹ năng giải bài tập, nhằm nâng cao chất lượng dạy học và việc

làm này đặc biệt quan trọng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ngay trong

giờ học.Vì vậy tôi đã rút ra kinh nghiệm “ Khai thác và phát triển một số bài

toán hình học’’.

2

Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.1.Cơ sở lý luận:

Qua nghiên cứu và thực tế giảng dạy ở trường THCS, trong các năm qua

tôi đã nghiên cứu và rút ra một số kinh nghiệm trong việc khai thác bài tập toán

để xây dựng một hệ thống bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi như là:

1.Chuyển điều chưa biết thành bài toán

2.Thay đổi hình thức phát triển bài toán

3.Tìm các bài toán liên quan

4.Mở rộng các bài tập khác

2.2. Thực trạng của vấn đề:

Học sinh ở trường THCS ngại học môn toán cho rằng đây là môn học rất

khó nhất là hình học đòi hỏi học sinh tổng hợp được kiến thức, có kỹ năng trình

bày logic, chặt chẽ, nếu chỉ học ở các giờ học chính khoá trên lớp thì khó có thể

giải được các bài toán nâng cao, không đủ kiến thức tham gia thi học sinh giỏi

môn toán. Các em học sinh ngoài việc học toàn diện các môn học còn tham gia

các hoạt động xã hội ít thời gian học thêm, chưa say mê với môn học, không

thấy được những điều kỳ diệu của toán học, đòi hỏi giáo viên khi giảng dạy phải

nghiên cứu tìm tòi, sáng tạo xây dựng các chuyên đề bám sát chường trình, theo

chuẩn kiến thức, kỹ năng, phát huy tính tích cực của học sinh.

2.3.Các biện pháp mới đã thực hiện để giải quyết vấn đề.

Trong sách giáo khoa, sách bài tập có nhiều bài tập vận dụng kiến thức lý

thuyết rất hay khi giải bài tập chúng ta cần khai thác theo nhiều khía cạnh khác

nhau đó là các cách giải khác nhau, hoặc thay đổi dữ kiện bài toán ta được một

số bài toán khác tương tự hoặc liên quan từ bài toán ban đầu ta gọi đó là bài toán

“chìa khoá” ta có thể giải được rất nhiều bài tập khác , củng cố được nhiều kiến

thức, rút ngắn được thời gian học tập, học sinh được luyện

tập được nhiều, thấy được tính logic của toán học và say mê học toán hơn.

Sau đây là một số bài tập minh hoạ .

Từ một bài toán nổi tiếng mà hình vẽ được in trên trang đầu của một số

cuốn sách nâng cao lớp 8, 9 đó là:

3

Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

Bài toán A:

Cho hình vuông ABCD. Đặt 1 hình vuông A^/B^/C^/D^/bên trong hình vuông

này sao cho 2 tâm trùng nhau. Chứng minh rằng : trung điểm của AA^/; BB^/;

CC^/; DD^/là đỉnh hình vuông khác.

Lời giải:

Cách 1:

V AO A ^/

V BO B ^/

=

( c.g.c )

_AA^/= BB^/

Tương tự _AA^/= BB^/=CC^/= DD^/

/

=

VD OQ



V AO M

V B O M

VC O P

_OM = ON = OP = OQ _tứ giác MNPQ là hình bình hành

_O là trung điểm của MP và NQ _MP = NQ

_MNPQ là hình chữ nhật

·

=

COP

=

DOQ

VCO P

V A O M

V B O N



V D O Q

POQ = 90⁰_tứ giác MNPQ là hình vuông

·



Cách 2:

Nối B^/C ; C^/D; D^/A; A^/B, gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các

cạnh B^/C ; C^/D; D^/A; A^/B

1

EP // B^/C^/và EP = B^/C^/,

FQ // C^/D^/và EQ = C^/D^/

2

1

GM// A^/D^/và GM = A^/D^/,

HN // A^/B^/và HN= A^/B^/

2

_EP = FQ = GM = HN

4

Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

1

_NE// BC và NE = BC,

PF // CD và PF = CD

2

1

QG// AD và QG = AD,

MH// AB và MH = AB

2

_NE = PF = QG = MH

=

( c.g.c)

V NEP

V M H N

VPFQ

VQGM

_MN = NP = PQ = QM và MQP = 90 ⁰

·

_MNPQ là hình vuông

Cách 3:

Thực hiện phép quay tâm O góc quay 90⁰cùng chiều kim đồng hồ thì OA

OB ; OA^/OB^/AA^/BB^/;BB^/CC^/; CC^/DD^/; DD^/AA^/





M N ; N P ; P Q ; Q M _MNPQ là hình vuông.





AM

AA^/

BN

CP

DQ

AM

AA^/

*Từ nhận xét:

=

Đặt

= k ( k < 0 )

BB^/CC^/DD^/

Theo định lý Talet ta có bài toán sau:

Bài toán 1a: Cho hình vuông ABCD. Đặt 1 hình vuông A^/B^/C^/D^/bên

trong hình vuông này sao cho 2 tâm trùng nhau. Gọi M,N,P,Q là các điểm thuộc

AA^/; BB^/; CC^/; DD^/sao cho

AA^/

BB^/CC^/

DD^/

DQ

=

= k ( k > 0 )

AM

BN

CP

Chứng minh rằng : MNPQ là hình vuông.

Khi k = 2 thì bài toán 1a chính là bài toán A

*Nếu khai thác bài toán theo cách giải thứ 3 về phép quay ta có bài toán sau:

Bài toán 2a:

Cho đa giác đều A₁A_2…A_nđạt bên trong đa giác này một đa giác đều

/

1

/

//

…

sao cho tâm của 2 đa giác đó trùng nhau. Gọi

…

là trung

A A₂A_n

A₁^//A₂^//A_n

//

điểm của A ^/, A ^/, …, A ^/. Chứng minh rằng:

…

là đa giác đều.

₁A ₂A₂_nA_n

A₁^//A₂^//A_n

1

*Thêm vào bài toán 2a yếu tố tỷ lệ ta có bài toán sau:

Bài toán 3a:

Cho đa giác đều A₁A_2…A_nđạt bên trong đa giác này một đa giác đều

/

1

/

//

…

sao cho tâm của 2 đa giác đó trùng nhau. Gọi

…

A A₂A_n

A₁^//A₂^//A_n

là các điểm nằm trên đoạn A ^/, A ^/, …, A ^/sao cho

₁A

₂A₂

_nA_n

1

A A^/

A₂A₂^/

A₃A₃^/

A₄A₄^/

//

A₁^//A₂^//A_n

1

=

. Chứng minh rằng:

…

là đa giác



A A^//A₂A₂^//A₃A₃^//A₄A₄^//

1

đều.

5

Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

Khi k = 2 thì bài toán 2 chính là bài toán 2a

* Nếu khai thác theo cách giải 1,2 không cần đến tâm O ta có bài toán sau

Bài toán 4a:

Đặt 1 hình bình hành A^/B^/C^/D^/trong 1 hình bình hành ABCD sao cho các

đỉnh của hình bình hành A^/B^/C^/D^/nằm trong hình bình hành ABCD. Chứng

minh rằng : trung điểm của AA^/; BB^/; CC^/; DD^/là các đỉnh của hình

bình hành .

Tổng quát hơn ta có bài toán sau:

Bài toán 5a:

Cho hình bình hành ABCD, đặt 1 hình bình hành A^/B^/C^/D^/sao cho các đỉnh của

nó nằm trong hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm

AA^/

AM

BB^/CC^/

DD^/

DQ

trên các đoạn AA^/; BB^/; CC^/; DD^/sao cho

=

= k (

BN

CP

k > 0) . Chứng minh rằng : MNPQ là hình bình hành.

*Khi k = 2 thì bài toán 5a chính là bài toán 4ª

Khai thác từ một bài toán hình học lớp 9 quen thuộc sau:

Bài toán B:

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC.

Chứng minh rằng: MA = MB + MC

Lời giải :

Trên tia CM lấy điểm N sao cho MN = MB

_NC = MB + MC

60⁰( vì

B

=

C

=

60⁰

)

M₃

=

60⁰

¶

µ

¶

µ

M₁

=

M₂

=



_VBMN đều _BN = BM



Ta có: BC = BA

0

·

ABM  ABC  CBM  60  CBM

=

MBC

_{ }ABM = CBN ( c.g.c) _AM = NC = MB + MC



Nhận xét từ bài toán B ta có bài toán sau:

Bài toán 1b:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); điểm M thuộc cung nhỏ BC.

Chứng minh: MA MB + MC



Giữ nguyên đề bài, thay đổi câu hỏi ta có bài toán sau

Bài toán 2b:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); điểm M thuộc cung nhỏ BC.

6

Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

1

Chứng minh:





MD MB MC

Lời giải:

MD MC

_MD . MA = MB . MC



^{ M D B :  M C A }MB MA

1

MB  MC

1







MD

MB.MC ^MD MB MC

Từ bài toán trên ta có thể giải được bài toán sau

Bài toán 3b

Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là

tam giác ACB^/, tam giác ABC^/tam giác BCA^/. Chứng minh rằng: 3 đường tròn

(ACB^/); (ABC^/); (BCA^/) đồng quy tại I.

Lời giải:

Gọi I là giao của đường tròn (ACB^/) và đường tròn (ABC^/)

·

AIC = 120⁰, AIB = 120⁰BIC = 120⁰





I (BCA^/) hay 3 đường tròn đồng quy.

Từ bài toán 3b ta dễ dàng chứng minh được bài toán sau:

7

Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

* Bài toán 4b:

Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là

tam giác ACB^/, tam giác ABC^/tam giác BCA^/, 3 đường tròn (ACB^/); (ABC^/);

(BCA^/) đồng quy tại I. Chứng minh rằng:

3 đường thẳng AA^/; BB^/; CC^/đồng quy.

Bài toán 5b:

Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là

tam giác ACB^/, tam giác ABC^/tam giác BCA^/, 3 đường tròn (ACB^/); (ABC^/);

(BCA^/) đồng quy tại I. Chứng minh rằng:

1

IA + IB + IC = ( IA^/+ IB^/+IC^/)

2

Bài toán 6b:

Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là

tam giác ACB^/, tam giác ABC^/tam giác BCA^/, 3 đường tròn (ACB^/); (ABC^/);

(BCA^/) đồng quy tại I. Chứng minh rằng:

1

= (

) trong đó A_1,B₁, C₁là giáo của



IA IB IC

2

IA IB IC₁

1

với các cạnh của tam giác.

8

Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

Bài toán 7b:

Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là

tam giác ACB^/, tam giác ABC^/tam giác BCA^/, 3 đường tròn (ACB^/); (ABC^/);

(BCA^/) đồng quy tại I.

Chứng minh rằng: IA + IB + IC nhỏ nhất với mọi I thuộc tam giác ABC

Bài toán 8b:

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC.

Chứng minh rằng: MA²+ MB²+ MC²= 2a²

Với a là cạnh của tam giác.

Bài toán 9b:

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC.

Tìm m để MA + MB + MC lớn nhất .

Bài toán 10b:

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC.

Tìm m để MA²+ MB²+ MC²lớn nhất .

Bài toán 11b:

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC.

Chứng minh rằng: MA⁴+ MB⁴+ MC⁴= 2a⁴

Với a là cạnh của tam giác

9

Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

Bài toán C:

Cho xOy  90⁰. Trªn Ox lÊy ®iÓm A cè ®Þnh sao cho OA = a. §iÓm B di

¶

®éng trªn Oy. VÏ trong gãc xOy mét h×nh vu«ng ABCD.

a) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ D ®Õn Ox.

b) T×m tËp hîp (qòy tÝch) ®iÓm D khi B di ®éng trªn Oy.

H-íng dÉn:

y

a) KÎ DH  Ox  H. Cã _AHD

0

¶

vu«ng t¹i H nªn ^¶A₁ D  90

.

1

C

0

¶

µ

¶

A₂ A  90 suy ra A₂ D

1

D

0

C'

¶

µ

3

A₂ A  90

D'

1

0

_B· _{AO }µ_{A  90}

3

¶

·

Suy ra A₂ BAO

2

B

¶

·

Hay D  BAO

1

3

1

O

A

H

x

XÐt _DHAvµ _AOB

Cã: H = O = 90⁰, D  BAO

¶

·

1

H×nh 1

DA = AB (c¹nh h×nh vu«ng)

VËy _DHA= _AOB= (T/h. B»ng

nhau ®Æc biÖt thø nhÊt cña tam gi¸c

vu«ng)

VËy: DH = OA = a

b) Theo chøng minh trªn

DH = a (const)

Khi B di ®éng trªn Oy th× D di ®éng theo nh-ng lu«n c¸ch Ox mét kho¶ng

DH = a. VËy quü tÝch cña D thuéc ®-êng th¼ng song song víi Ox vµ c¸ch Ox

mét kho¶ng b»ng a.

Giíi h¹n:

Khi B  O th× H  A vµ D  D'. D' lµ mét ®iÓm thuéc ®-êng th¼ng song

song víi Ox vµ c¸ch Ox mét kho¶ng b»ng a, do A cè ®Þnh suy ra D' cè ®Þnh.

10

Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

KÕt luËn:

Khi B di ®éng trªn Oy th× quü tÝch cña D lµ 1 tia D'z // Ox, D' c¸ch A mét

kho¶ng b»ng a.

Khai thác 1:

Tõ lêi gi¶i trªn ta thÊy h×nh vu«ng OAD'C' lµ nhá nhÊt trong tËp c¸c h×nh

vu«ng ABCD khi B di ®éng trªn Oy. Vµ ®-¬ng nhiªn trong tËp c¸c h×nh vu«ng

Êy th× diÖn tÝch h×nh vu«ng OAD'C' lµ cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. Tõ suy xÐt ®ã ta cã bµi

to¸n míi.

Bµi to¸n 1c:

0

¶

Cho xOy  90 lÊy A thuéc tia Ox sao cho OA = a. Mét ®iÓm B di ®éng

trªn Oy. VÏ trong gãc xOy h×nh vu«ng ABCD. X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm D ®Ó S_ABCDlµ

nhá nhÊt.

Chøng minh

y

ThËt vËy S_ABCD= AB²

C

0

·

Trong _OABcã AOB  90

AB > OA



D

D'

C'

Do A cè ®Þnh, B di ®éng nªn

1

AB  OA = a

I

I'



S_ABCD a²

2

B

Do ®ã S_ABCD= a²lµ nhá nhÊt

3

1

O

A

H

x

khi Êy B  O

H×nh 2

Khai th¸c 2:

Tõ kÕt qu¶ trªn ta suy ra h×nh vu«ng OAD'C' lµ cè ®Þnh b»ng c¹nh a. ThÕ

th× OD' cè ®Þnh nªn trung ®iÓm I' lµ cè ®Þnh. VÊn ®Ò ®Æt ra lµ: NÕu B chuyÓn

®éng trªn Oy th× D chuyÓn ®éng trªn tia D'D. Khi ®ã trung ®iÓm I cña OD

chuyÓn ®éng trªn ®-êng nµo vµ ta cã bµi to¸n míi.

Bµi to¸n 2c:

11