SKKN Khai thác bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất để xây dựng một số bài toán thực tiễn có dạng câu hỏi thi của pisa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG

TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1

TỔ TOÁN

----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MÔN TOÁN

KHAI THÁC BÀI TOÁN

TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT

ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN

THỰC TIỄN CÓ DẠNG CÂU HỎI THI CỦA PISA

Người thực hiện: Ninh Văn Quang

Giáo viên trường THPT Lạng Giang số 1

Lạng Giang, tháng 9 năm 2014

MỤC LỤC

NỘI DUNG

Trang

Phần I: Mở đầu………………..…………………………......................

I. Lý do chọn đề tài ..................................................................................

II. Mục đích nghiên cứu...........................................................................

III. Nhiệm vụ nghiên cứu..........................................................................

IV. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.......................................................

V. Phương pháp nghiên cứu .....................................................................

VI. Những đóng góp của đề tài.................................................................

1

2

3

Phần II: Nội dung nghiên cứu và kết quả

4

5

Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài........................................

Khai thác bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất để xây dựng

Chương II:

một số bài toán thực tiễn có dạng câu hỏi thi của PISA ...........................

Kết quả nghiên cứu

18

Chương III:

Phần III: Kết luận và đề nghị ...............................………………………

Danh mục tài liệu tham khảo...................................................................

19

21

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chúng ta đều biết, Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới

một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên

toàn thế giới. Mục tiêu giáo dục trong thế kỉ 21 là học để biết, học để làm, học

để cùng chung sống, học để khẳng định mình. Vì thế vai trò của các bài toán có

nội dung thực tiễn trong dạy học bộ môn toán luôn được ưu tiên hàng đầu. Toán

học ngày càng giữ vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa

học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt Toán học lấy thực tiễn làm

động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có nguồn gốc từ

thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại Toán học là công cụ đắc

lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên. Để đáp ứng được

sự phát triển của kinh tế, của khoa học khác, của kỹ thuật và sản xuất đòi hỏi

phải có con người lao động có hiểu biết có kỹ năng và ý thức vận dụng những

thành tựu của Toán học trong những điều kiện cụ thể để mang lại hiệu quả lao

động thiết thực. Chính vì lẽ đó, sự nghiệp giáo dục và đào tạo trong thời kì đổi

mới hiện nay phải góp phần quyết định vào việc bồi dưỡng cho người học tiềm

năng trí tuệ, tư duy sáng tạo, năng lực tìm tòi chiếm lĩnh tri thức, năng lực giải

quyết vấn đề, đáp ứng được yêu cầu của thực tiễn.

Việt Nam đang tham gia Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (gọi tắt

là PISA). Đây là một chương trình đánh giá có chất lượng và đáng tin cậy về

hiệu quả của hệ thống giáo dục, trong đó có lĩnh vực Toán học, được xây dựng

và điều phối bởi Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD. Bài thi của PISA

chú trọng khả năng học sinh vận dụng kiến thức và kĩ năng của mình khi đối mặt

với các tình huống thực tiễn, và ta gọi đó là các bài toán thực tiễn.

Qua giảng dạy tôi thấy các em học sinh luôn gặp khó khăn khi tiếp cận

1

các bài toán cực trị hình học. Hơn nữa, việc vận dụng các bài toán cực trị hình

học vào giải quyết các bài toán thực tiễn lại càng khó khăn hơn.

Vì những lí do trên, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm với tiêu

đề: "Khai thác bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất để xây dựng một số bài

toán thực tiễn có dạng câu hỏi thi của PISA" với mong muốn giúp các em học

sinh làm quen với những bài toán có nội dung thực tiễn và sử dụng kiến thức, kĩ

năng của chính các em để giải quyết các bài toán thực tiễn đó; đồng thời giúp

các thầy cô và các em học sinh tìm hiểu và tự xây dựng một số bài toán có dạng

giống như câu hỏi thi của PISA.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Giúp các em học sinh bậc THPT làm quen với những bài toán có nội dung

thực tiễn và biết sử dụng kiến thức, kĩ năng của chính các em để giải quyết các

bài toán thực tiễn đó.

Giúp các thầy cô và các em học sinh tìm hiểu để có thể tự xây dựng một

số bài toán có dạng giống như câu hỏi thi của PISA.

Quy lạ về quen, gắn Toán học với thực tiễn và thực tiễn với Toán học.

Làm rõ hơn câu nói "Học đi đôi với hành".

III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Khai thác một số bài toán hình học về tổng khoảng cách nhỏ nhất. Từ đó

xây dựng một số bài toán có nội dung thực tiễn, đảm bảo mục đích nghiên cứu

đã đề ra.

IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

1. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

+ Bài toán dựng hình

2

+ Các phép biến hình như phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, ...

+ Các bài toán cực trị hình học.

2. PHẠM VI NGHIÊN CỨU

+ Chương trình toán hình học bậc THPT.

V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu qua sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, ...

- Nghiên cứu qua các tiết thực nghiệm trên lớp.

VI. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn, tính hệ thống và tính

cập nhật, phù hợp với xu thế phát triển giáo dục trong giai đoạn hiện nay và sau

này. Bên cạnh đó giúp học sinh phát huy tính tự lực, khả năng tư duy, sáng tạo,

để nhận biết rồi tự tìm ra hướng giải quyết bài toán, biết gắn bài toán với thực

tiễn và giải quyết tình huống thực tiễn.

3

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ

Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

Việc đưa vào bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất và từ đó xây dựng nên

một số bài toán thực tiễn không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những kiến

thức quan trọng trong môn Hình học mà còn giúp cho học sinh làm quen với các

phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng

xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiên

cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cho học sinh bản lĩnh khi đứng trước những tình

huống có thật cần giải quyết trong thực tế. Ngoài ra còn có thể mang lại nhiều

hứng thú trong việc tìm tòi, nghiên cứu hình học và các bộ môn khác.

Theo hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, giáo viên cần tập

trung thiết kế các hoạt động sao cho các em học sinh có thể tự lực khám phá,

chiếm lĩnh các tri thức mới dưới sự chỉ dẫn của thầy cô. Một đặc điểm cơ bản

của hoạt động học là hướng vào người học, giúp người học cải biến chính mình.

Nếu người học không chủ động tự giác, không có phương pháp học tập phù hợp,

tích cực thì mọi nỗ lực của người thầy chỉ đem lại những kết quả hạn chế.

II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Toán học là môn khoa học trừu tượng nhưng lại có phạm vi ứng dụng rất

rộng rãi. Học tốt môn toán và đặc biệt là toán hình đối với học sinh là một vấn

đề không hề đơn gian. Học sinh thường gặp khó khăn trong việc tiếp nhận các

kiến thức và phương pháp và càng khó hơn trong việc vận dụng các kiến thức và

phương pháp ấy vào việc giải các bài toán thực tiễn. Đối với các thầy, cô giáo

dạy toán thì cái khó tiềm ẩn trong khả năng phân tích, dẫn giải giúp học sinh

hiểu được một cách rõ ràng, nắm được một cách chắc chắn những gì mà thầy, cô

giáo muốn truyền đạt. Người thầy trong quá trình truyền đạt tri thức phải là

4

người hướng dẫn và “mở đường” cho các em, còn các em phải tự mình xây dựng

được các kĩ năng, tích lũy được các kinh nghiệm giải toán, từ đó mà chất lượng

học tập của học sinh sẽ ngày được nâng lên.

Các bài toán liên quan đến tổng khoảng cách nhỏ nhất là những bài toán

khó nên học sinh sẽ gặp khó khăn khi học tập và nghiên cứu, việc áp dụng thành

thạo các bài tập ở dạng này đối với nhiều học sinh là chưa được tốt. Khi viết

chuyên đề này tôi luôn quan tâm đến vấn đề dạy cho học sinh dễ hiểu bài để có

thể vận dụng tốt kết quả của bài toán, giúp học sinh biết gắn các bài toàn này với

thực tiễn cuộc sống.

Chương II: KHAI THÁC BÀI TOÁN TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ

NHẤT ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIỄN CÓ DẠNG

CÂU HỎI THI CỦA PISA

Bài toán 1:

Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng d.

Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất.

Hướng dẫn

A

d

M

d

B

Ta có: MA + MB



AB (Bất đẳng thức trong tam giác).

Dấu “=” xảy ra khi A, M, B thẳng hàng

Vậy MA + MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường

thẳng d.

5

Bài toán 2: (Bài toán gốc)

Trong mặt phẳng, cho hai điểm phân biệt A, B nằm về cùng một phía đối

với đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tổng MA + MB

nhỏ nhất.

Lời giải

B

A

d

M

M'

M

A'

* Phân tích:

Giả sử ta đã tìm được điểm M thuộc d để có tổng MA + MB nhỏ nhất.

Lấy A' đối xứng với A qua d .

Ta có MA = MA', suy ra MA' + MB cũng nhỏ nhất .

Mà A' và B lại nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng d.

Theo kết quả của Bài toán 1, M là giao điểm của đường thẳng A'B và đường

thẳng d.

* Cách dựng:

- Dựng A’ đối xứng với A qua d.

- Đường thẳng A'B cắt đường thẳng d tại điểm M cần tìm.

* Chứng minh:

Với điểm M đã dựng và điểm M' bất kì thuộc d mà M' không trùng với M,

ta có:

M'A + M'B = M'A' + M'B

6

M'A' + M'B > A'B

A'B = MA' + MB

MA' + MB = MA + MB

Suy ra M'A + M'B > MA + MB.

Vậy MA + MB là nhỏ nhất.

* Biện luận:

Luôn tìm được duy nhất điểm M thỏa mãn đề bài.

Trực tiếp từ Bài toán gốc có thể xây dựng nên các bài toán thực tiễn và có

thể chọn các bài toán này làm câu hỏi trong các kỳ đánh giá năng lực học sinh

phổ thông của PISA trong lĩnh vực Toán học (được gọi là các câu hỏi thi PISA).

Bài toán thực tiễn 1: Bồ câu nhặt thóc

Ở hai đầu sân phơi thóc có hai cái cây. Một con chim bồ câu bay từ ngọn

cây thứ nhất xuống sân nhặt thóc ăn rồi bay ngay lên ngọn cây thứ hai. Hỏi bồ

câu phải nhặt thóc tại vị trí nào trên sân để chiều dài đường bay của nó là ngắn

nhất.

B

A

Cây 2

Cây 1

Sân phơi thóc

M

A'

7

Đây là bài toán thực tiễn và được đặt trong không gian. Tuy nhiên ở bài

toán này và kể cả các bài toán thực tiễn sau đây nữa chúng ta đều quy được về

xét trong mặt phẳng.

Ở bài toán này, chiều dài đường bay của bồ câu chính là tổng khoảng cách

từ vị trí nhặt thóc trên sân đến hai ngọn cây. Dễ dàng thấy được việc xác định vị

trí nhặt thóc của bồ câu trên sân để chiều dài đường bay của bồ câu là ngắn nhất

giống như việc xác định điểm M để tổng khoảng cách từ M tới hai điểm A và B

là nhỏ nhất trong Bài toán gốc. Tuy trong thực tế, việc tìm điểm đối xứng của

ngọn cây thứ nhất qua mặt sân là không khả thi, nhưng ta có thể dựa vào tỉ lệ

chiều cao của hai cái cây để suy ra tỉ số mà vị trí nhặt thóc cần tìm chia đoạn

thẳng nối hai gốc cây.

Bài toán gương phẳng sau đây không xuất phát từ Bài toán gốc nhưng lại

có cách giải quyết tương tự.

Bài toán thực tiễn 2: Mặt hồ phản chiếu

Từ một vị trí trên bờ hồ bên này cần chiếu tia sáng tới vị trí nào trên mặt

hồ phẳng lặng để tia sáng phản xạ hắt vào một vị trí trên bờ hồ bên kia.

Vị trí 2

R

Vị trí 1

S

I

Mặt hồ

S'

Mặt hồ phẳng lặng giống như gương phẳng. Vị trí cần tìm trên mặt hồ là

điểm tới I. Tia tới là SI, tia phản xạ là IR. Khi biết S và R thì việc xác định I

8

giống như xác định M trong bài toán gốc. Ban đầu tìm ảnh S' của S qua gương

phẳng (S' đối xứng với S qua gương), sau đó xác định giao điểm của đường

thẳng S'R với mặt gương chính là điểm tới I cần tìm.

Bài toán 3:

Trong mặt phẳng, cho hai điểm phân biệt A, B nằm về cùng một phía đối

với đường thẳng d. Tìm hai điểm M, N thuộc đường thẳng d sao cho MN = a (a

là một số dương không đổi) và đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải

* Phân tích:

A

A₁

a

B

d

a

N

M

A’

- Dựng hình bình hành AMNA₁, suy ra AA₁= MN = a, AM = A₁N.

- Từ đó, đường gấp khúc AMNB có độ dài bằng độ dài đường gấp khúc AA'NB,

và bằng: a + A₁N + NB. Vậy đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất khi

tổng A₁N + NB nhỏ nhất. Đến đây chính là Bài toán gốc.

* Cách dựng:

- Dựng hình bình hành AMNA₁.

9