SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: Tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

MÃ SKKN:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 8 GIẢI DẠNG TOÁN:

TÌM NGHIỆM HỮU TỶ CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

Lĩnh vực : Toán học

Cấp học : Trung học cơ sở

Tài liệu kèm theo:

Đĩa CD minh họa cho SKKN

NĂM HỌC 2016- 2017

Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

MỤC LỤC

Trang 2

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1/ Lí do chọn đề tài

2/ Mục đích nghiên cứu

3/ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4/ Nhiệm vụ nghiên cứu

Trang 3

5/ Phương pháp nghiên cứu

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN

Trang 4

Trang 5

Trang 17

Trang 19

II. TÌM HIỂU VÀ PHÂN TÍCH THỰC TRẠNG

III. GIẢI PHÁP

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

I. KẾT QUẢ

II. CÁC VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Tài lệu tham khảo

1/19

Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1. Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về đa thức chiếm một số

lượng rất nhiều. Trong đó việc tìm nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỷ của đa thức

có ý nghĩa thực tiễn rất lớn và cũng mang lại nhiều điều thú vị.

Tuy nhiên, vì lí do khung chương trình nên thời lượng và kiến thức đưa vào

chương trình sách giáo khoa về nghiệm của đa thức còn tương đối hạn chế. Vấn

đề tìm nghiệm của đa thức chỉ trình bày gọn trong một bài (Bài 9: Nghiệm của

đa thức một biến), nội dung toàn bài chủ yếu tập trung vào định nghĩa mà

không đi sâu phân tích , hướng dẫn các phương pháp tìm nghiệm. Do vậy các

em học sinh khi gặp các bài toán liên quan đến tìm nghiệm của đa thức 1 biến

thì đa số còn lúng túng, chưa định hướng được cách giải quyết bài toán.

Như vậy, khi giảng dạy và bồi dưỡng môn Toán cho học sinh đòi hỏi giáo

viên phải có phương pháp phù hợp nhằm giúp các em tháo gỡ những vướng

mắc nêu trên.Hơn nữa góp phần hướng dẫn cho các em khả năng tự học, để tiến

tới đáp ứng nhu cầu của môn Toán cũng như các môn học khác trong xu hướng

học tập hiện nay.

Qua thực tế giảng dạy và học tập, bản thân tôi đã tích luỹ được một số kiến

thức và phương pháp hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của đa thức tương đối hiệu

quả. Vì thế tôi chọn trình bày đề tài "Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng

toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến"

2. Mục đích nghiên cứu:

Đề tài này không những trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm

nâng cao năng lực học môn toán cho các em và giúp các em có cách suy nghĩ

đúng đắn để giải quyết bài toán tìm nghiệm của đa thức một biến mà còn nhằm

góp thêm một phương pháp bồi dưỡng kiến thức toán cho học sinh THCS nói

chung. Khi các em thành thạo việc tìm nghiêm của đa thức thì việc giải quyết

các dạng bài liên quan sẽ dễ dàng hơn, tránh được những sai lầm thường mắc

phải. Từ đó các em vững vàng và tự tin hơn khi làm toán.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Trong chương trình toán THCS hiện hành, khái niệm nghiệm của đa thức

được đưa vào chương III phần Đại số lớp 7. Các vấn đề khác về đa thức được

tiếp nối ở lớp 8 và tiếp tục được vận dụng ở lớp 9. Vì thế các bài toán tìm

nghiêm của đa thức được xem xét chủ yếu áp dụng cho đối tượng học sinh lớp

7, 8( nhất là học sinh khá giỏi).

2/19

Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

4. Nhiệm vụ nghiên cứu:

Đề tài tập trung nghiên cứu kiến thức liên quan đến nghiệm của đa thức một

biến đồng thời tìm hiểu các phương pháp tìm nghiệm của đa thức một biến và

mối liên hệ giữa dạng toán này với một số dạng toán khác.

Mặt khác đề tài cũng đi sâu tìm hiểu thực tế khả năng giải dạng toán tìm

nghiệm của đa thức một biến ở học sinh, từ đó phân tích tìm chọn hướng đi

phù hợp đối tượng học sinh mà mình giảng dạy rồi thử nghiệm để rút ra những

thành công , thất bại tổng hợp kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và bồi

dưỡng toán cho học sinh THCS nhằm lựa chọn con đường dẫn dắt học sinh học

tập dạng toán đã nêu sao cho đạt hiệu quả cao nhất

5. Phương pháp nghiên cứu:

Đề tài được hoàn thành thông qua phương pháp nghiên cứu lý luận(tìm hiểu,

nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu bồi dưỡng, sách tham khảo...) để xác định

những nội dung kiến thức cần thiết phục vụ cho đề tài.

Ngoài ra, đề tài cũng đã sử dụng phương pháp thực nghiệm sư phạm tổng kết

kinh nhgiệm ở những lớp trước để áp dụng tốt hơn cho lớp sau, khoá sau.

3/19

Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN

Trong chương trình toán 7, khái niệm Nghiệm của đa thức một biến được phát

biểu như sau:

Nếu tại x = a, đa thức P(x)có giả trị bằng 0 thì ta nói rằng a(hoặc x =a) là

một nghiệm của đa thức đó.

Như vậy, về mặt lý luận, để tìm nghiệm của đa thức P(x) cần tìm giá trị x

sao cho P(x) = 0.Tuy nhiên để tìm nghiệm của đa thức P(x) có nhiều cách khác

nhau tuỳ thuộc vào bài toán cụ thể. Từ bài toán tìm nghiệm của đa thức ta có thể

áp dụng để giải được bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương

trình đa thức .....

II. TÌM HIỂU VÀ PHÂN TÍCH THỰC TRẠNG

Trong thực tế giảng dạy nhiều năm tôi thấy phần lớn giáo viên khi dạy về

nghiệm của đa thức một biến cũng chỉ dừng lại ở phạm vi nội dung kiến thức

của sách giáo khoa, 1 số ít giáo viên có cung cấp cho học sinh cách tìm nghiệm

của 1 số đa thức cụ thể nhưng chưa khái quát thành phương pháp. Một số ít khác

đã quan tâm đến cung cấp phương pháp giải cho HS song trong quá trình học tập

do không thường xuyên sử dụng nên học sinh rất mau quên vì các phương pháp

này có được là nhờ GV cung cấp chứ không phải tự các em khám phá

được.Cũng chính vì vậy các em không mấy hứng thú khám phá kiến thức,

phương pháp mới nên khó kích thích được lòng hăng say với bộ môn của các

em.

Về phía học sinh khi gặp loại toán này mà đa thức một biến có bậc lớn hơn 2

thì đều gặp khó khăn và lúng túng. Học sinh lớp 8, 9 mặc dù đã được học về

phân tích đa thức thành nhân tử song cũng gặp không ít khó khăn trong việc

phân tích thành nhân tử để tìm nghiệm, hầu hết các em còn mò mẫm và máy

móc. Khi chưa được hướng dẫn về phương pháp như đề tài này, phần lớn HS

mà tôi trực tiếp bồi dưỡng ở nhiều năm học khác nhau đều chỉ tìm được nghiệm

của các đa thức có tính chất đặc biệt dễ nhận thấy hoặc dễ nhẩm nghiệm(Đa

thức có nghiệm 1;0...; các đa thức có hệ số cao nhất bằng 1, hệ số tự do bé...),

còn đối bài toán tìm nghiệm các đa thức có hệ số cao nhất khác 1, đa thức mà hệ

số tự do có nhiều ước số, đa thức hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ và đặc biệt đa

thức hệ số hữu tỷ có nghiệm hữu tỷ là những bài toán khó đòi hỏi HS phải nắm

vững phương pháp mới giải thành công được.

Trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tôi cũng đã cố gắng tìm kiếm

và sưu tầm tài liệu song các tài liệu hướng dẫn HS giải loại toán "Tìm nghiệm

hữu tỷ của đa thức" ít thấy. Một số tài liệu chỉ đề cập đến các định lý và hệ quả

4/19

Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

liên quan mà không đi vào hướng dẫn phương pháp tìm như thế nào đối với từng

dạng đa thức hay từng yêu cầu cụ thể về nghiệm.

Trước thực trạng đó, tôi đã tìm tòi, suy nghĩ, phân tích các phương pháp

hướng dẫn học sinh tháo gỡ những vướng mắc nêu trên và tiến hành thử nghiệm

thực tế đối với học sinh khá giỏi ở trường mình. Sau nhiều lần rút kinh nghiệm

tôi đã chọn ra được các giải pháp hiệu quả nhất như sau:

III. GIẢI PHÁP

1. Xác định những kiến thức cơ bản liên quan

1.1.Định nghĩa: Nếu tại x = c đa thức f(x)có giả trị bằng 0 thì ta nói rằng c

(hoặc x =c) là một nghiệm của đa thức đó.

1.2. Một đa thức (khác đa thức không ) có thể có nhiều nghiệm hoặc không có

nghiệm nào.

1.3. Một đa thức bậc n có nhiều nhất là n nghiệm phân biệt. Đa thức bậc 0 thì

không có nghiệm. Đa thức không (không có bậc) thì có vô số nghiệm.

1.4. Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là một nghiệm.

Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của luỹ thừa chẵn bằng tổng các luỹ

thừa lẻ thì x = - 1 là một nghiệm.

* Từ định nghĩa trên ta thấy khi f(c) = 0 khi và chỉ khi f(x) (x - c)



* Định lý Bêzu: Dư của phép chia đa thức f(x) cho x -c là giá trị f(c)

Bổ sung:

1.5. Cho đa thức f(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ ... + a₁x + a₀. ( hệ số nguyên)

p

Nếu phân số (tối giản) là nghiệm của f(x) thì p là ước của a₀; q là ước của a_n

q

1.6. Mọi nghiệm nguyên (nếu có) của đa thức với hệ số nguyên phải là ước

của số hạng tự do.

1.7. Mọi nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên và hệ số cao nhất

bằng 1 đều là nghiệm nguyên.

f (1)

1.8. Nếu   1 là nghiệm nguyên của đa thức f(x) với hệ số nguyên thì

1 

f (1)

1 

và

phải là các số nguyên.

1.9. Sơ đồ Hoocne: Giả sử f(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ ... + a₁x + a₀.

Chia f(x) cho x - c ta được thương q(x) có bậc n - 1 là:

q(x) = b_nx^n-1+ b_n-1x^n-2+ ... + b₂x + b_1.và dư là hằng số r. Khi đó ta có sơ đồ

sau gọi là sơ đồ Hoocne:

a_n

a_n-1...

b_n-1...

a_k

...

a₁

b₁

a₀

Cộng

=

c

b_n= a_n

b_k-1b_k

5/19

r

Nhân

Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

Quy tắc của sơ đồ: Mỗi phần tử dòng dưới bằng tích của c với phần tử đứng

ngay trước nó cộng với phần tử tương ứng ở dòng trên.

2. Những giải pháp đã tiến hành

Trên cơ sở xác định rõ phạm vi các kiến thức liên quan mà giáo viên đã nắm

bắt. Đầu tiên cần giúp các em nắm vững các kiến thức đó theo một quy trình phù

hợp với mức độ nhận thức từ thấp đến cao của các em.Cụ thể chúng ta có thể

tiến hành như sau:

2.1. Giáo viên (GV) cho học sinh (HS) củng cố những kiến thức hiểu biết

của mình về nghiệm của đa thức đã được học qua sách giáo khoa(SGK).

Trước hết GV cho HS vận dụng các kiến thức cơ bản để giải bài toán cụ thể.

Chẳng hạn:

Bài toán 1: Tìm nghiệm của các đa thức sau:

a. 5x - 7

d. x²+ 3

b. (x - 3)(2+x)

e. x²+ 2x

c. x²- 4

Đa số HS đều hiểu và vận dụng được những kiến thức cơ bản vào giải bài tập

đã cho.Những bài tập này giúp HS củng cố lại các kiến thức cơ bản đã được học

trong nội dung chính khoá.

Đáp số bài toán 1:

7

a. x 

b. x = 3 hoặc x = -2

c. x  2

5

d.vô nghiệm

e. x = 0 hoặc x = -2

Trong các bài tập dạng đơn giản như trên, HS dễ dàng dùng các kiến thức

được học ở SGK để giải. Nhưng khi gặp bài toán sau:

Tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x²- 6x - 2

Nếu không bổ sung thêm kiến thức thì HS sẽ gặp khó khăn. Do đó bước tiếp

theo:

2.2. GV hướng dẫn HS bổ sung những kiến thức cơ bản khác liên quan

cần thiết đến nghiệm của đa thức.

Chẳng hạn đối với tiểu mục 1.4 ở trên GV có thể cung cấp cho HS. Tuy

nhiên, trong dạy Toán cái đáng quý nhất là làm cách nào đó để HS tự mình rút ra

được những nhận xét, kết luận cần thiết nhằm hình thành dần ở các em khả năng

khái quát hoá vấn đề, tổng hợp hoá kiến thức. Như thế không chỉ dừng lại ở việc

giải bài toán cụ thể mà các em còn có ý thức tìm tòi phương pháp giải cho các

bài toán cùng loại hoặc từ bài toán cụ thể xem xét bài toán tổng quát. Vì vậy GV

cần giúp HS hình thành, phát hiện các kiến thức mới có liên quan từ những bài

toán mang tính chất tình huống :

6/19

Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

Bài toán 2: Cho đa thức f(x) = ax²+ bx + c;

Chứng tỏ rằng:

a. Nếu a + b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1.

Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x²- 6x - 2

b. Nếu a - b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1. Áp dụng để tìm

một nghiệm của đa thức f(x) = 7x²+ 11x + 4

Lược giải:

a. Với x = 1 ta có: f(1) = a + b + c; mà a + b + c = 0 nên f(1) = 0

Điều này chứng tỏ x= 1 là một nghiệm của đa thức f(x).

Áp dụng: Ta có 8+(-6) + (-2) = 0 nên đa thức f(x) = 8x²- 6x - 2 có một

nghiệm là x = 1

b. Với x = -1 ta có: f(-1) = a - b + c; mà a - b + c = 0 nên f(-1) = 0

Điều này chứng tỏ x= -1 là một nghiệm của đa thức f(x).

Áp dụng: Ta có 7 - (+11) + 4 = 0 nên đa thức f(x) = 7x²+ 11x + 4

có một nghiệm là x = -1

Qua việc giải bài tập 1 GV cho HS nêu các bước mà các em đã tiến hành giải

để rút ra phương pháp:

- Tính f(1); f(-1) theo a, b, c.

- Căn cứ vào đề bài để suy ra f(1) =0 ; f(-1) =0.

- Dựa vào định nghĩa nghiệm của một đa thức để kết luận x = 1; x = -1 là một

nghiệm của đa thức f(x).

Như vậy, sau khi rút ra được phương pháp giải thì HS hoàn toàn tự lực hoàn

thành tốt bài tập sau:

Bài toán 2.1: Cho đa thức f(x) = ax³+ bx²+ cx + d.Chứng tỏ rằng:

a. Nếu a + b + c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1

b. Nếu - a + b - c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1

Đến đây, GV yêu cầu HS phát biểu bài toán tổng quát. HS hoàn toàn có thể

thực hiện tốt yêu cầu này:

Bài toán 2.2: Cho đa thức f(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ ... + a₁x + a₀. Chứng tỏ

rằng:

a. Nếu tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức bằng 0 thì x = 1 là một

nghiệm của f(x).

b.Nếu tổng các hệ số của các hạng tử luỹ thừa chẵn bằng tổng các hệ số của

các hạng tử luỹ thừa lẻ thì x = - 1 là một nghiệm của f(x).

Với đối tượng HS khá GV yêu cầu HS giải bài toán tổng quát vừa nêu.

2.3. HS áp dụng các kiến thức cơ bản trên vào bài tập đơn giản:

GV cho HS rèn luyện kỹ năng thông qua hệ thống các bài tập để HS nắm chắc

và nhớ lâu hơn những vấn đề đã được học.

7/19

Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

Bài tập áp dụng :

1. Tìm một nghiệm của mỗi đa thức sau:

a. f(x) = x³- x²+ x - 1;

b. g(x) = 11x³+ 5x²+ 4x +10;

c. h(x) = -17x³+ 8x²- 3x + 12

2. Trong các số sau: 1; -1; 5; -5 số nào là nghiệm của đa thức

f(x) = x⁴+ 2x³- 2x²-6x + 5

3.Cho các đa thức:

a. f(x) = x⁴+ 5x³+ 3x²+ 2x + 3;

b. g(x) = 3x⁴+ x³+ x²-7x - 10;

c. h(x) = 4x³+ 2x²- x + 1

Nghiệm lại rằng x = -1 là nghiệm của mỗi đa thức đã cho.

Trong thực hành tìm nghiệm của đa thức HS không chỉ gặp những đa thức

có những tính chất đặc biệt như trên và yêu cầu của bài toán cũng không dừng

lại ở việc kiểm tra 1 số cho trước có phải là nghiệm hay không hoặc chỉ cần tìm

một nghiệm của đa thức.Chẳng hạn bài toán:

Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x⁵- 3x⁴- 5x³+15x²+ 4x - 12.

Rõ ràng, chỉ với những kiến thức cơ bản đã nắm HS đã gặp vướng mắc trong

việc tìm phương pháp giải. Với học sinh lớp 8, sau khi nắm chắc các phương

pháp phân tích đa thức thành nhân tử các em có thể thêm bớt hay tách hạng tử...

đưa về tích các đa thức có bậc thấp hơn để tìm nghiệm. Song cũng không phải là

dễ dàng. Vì vậy, GV cần phải bổ sung thêm những kiến thức mới, những

phương pháp mới để HS có thể giải được những bài toán như đã nêu một cách

nhẹ nhàng hơn.

2.4. GV hướng dẫn HS bổ sung và vận dụng những kiến thức nâng cao

liên quan cần thiết đến nghiệm của đa thức.

Cũng với cách làm như trên, GV hướng dẫn HS bổ sung kiến thức.

Bài toán .

Cho đa thức f(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ ... + a₁x + a₀. (Hệ số nguyên)

p

Giả sử phân số tối giản là nghiệm của f(x) thì p là ước của a₀; q là ước của

q

a_n.

GV hướng dẫn HS giải bài toán:

p

GV(?) Theo định nghĩa nghiệm của đa thức, nếu phân số tối giản

nghiệm của f(x) thì suy ra điều gì?

là

q

8/19

Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

p

HS: Theo định nghĩa nghiệm của đa thức, nếu phân số tối giản là nghiệm

q

n

p

q

p^n1

q^n1

p

của f(x) thì ta có: f( ) = a_n

+ a_n-1

+ ... + a₁+ a₀= 0 (*)

n

q

GV(?) Quy đồng mẫu số sẽ suy ra được điều gì?

HS: Ta có (*)  a₀qⁿ a₁pq^n1 a₂p²q^n2... a_npⁿ 0 (1)

GV(?) Từ (1) hãy chứng tỏ p là ước của a₀; q là ước của a_n?

HS: Từ (1) suy ra:

a₀qⁿ (a₁pq^n1 a₂p²q^n2... a_npⁿ)

 a₀qⁿ p(a₁q^n1 a₂pq^n2... a_np^n1)

 a₀qⁿp

Mà p,q 1 qⁿp  a p hay p là ước của a₀





0

Tương tự từ (1) suy ra:

a_npⁿ (a₀qⁿ a₁pq^n1... a_n1p^n1q)

 a_npⁿ q(a₀q^n1 a₁pq^n2... a_n1p^n1)

 a_npⁿq

Mà p,q 1 pⁿq  a q hay q là ước của a_n.





n

Sau khi giải bài toán này HS dễ dàng rút ra được kết luận ở tiểu mục 1.5 là:

Cho đa thức f(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ ... + a₁x + a₀. ( hệ số nguyên)

p

Nếu phân số (tối giản) là nghiệm của f(x) thì p là ước của a₀; q là ước của a_n

q

Kết luận này sẽ là công cụ rất hữu ích giúp HS tìm nghiệm hữu tỷ của một đa

thức với hệ số nguyên.

Ngoài ra, cũng từ kết luận trên, GV hướng dẫn HS đặc biệt hoá bài toán để rút

ra một nhận xét mới:

GV(?) Trong bài toán 3, nếu hệ số cao nhất bằng 1 thì có thể suy ra được điều

gì?

HS: (Xem xét trường hợp a_n= 1)

Khi đó ta có đa thức sẽ là: g(x) = xⁿ+ a_n-1x^n-1+ ... + a₁x + a₀. ( hệ số

p

nguyên) . Nếu (tối giản) là nghiệm của f(x) thì theo kết luận trên ta có p là ước

q

p

của a₀và q là ước của 1. Vì vậy q = 1 nên là một số nguyên.

q

Đến đây, HS hoàn toàn tự mình rút ra được kết luận 1.6 và 1.7 là:

1.6. Mọi nghiệm nguyên (nếu có) của đa thức với hệ số nguyên phải là ước

của số hạng tự do.

9/19

Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

1.7. Mọi nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên mà hệ số cao nhất

bằng 1 đều là nghiệm nguyên.

Bây giờ, GV cho HS rèn luyện một số bài toán để vừa áp dụng vừa củng cố

những kiến thức mà các em đã khám phá được ở trên.

Bài toán 4:

Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x³- x²-4x + 4

Bài tập này GV có thể yêu cầu HS tìm các cách khác nhau để giải.

Lược giải:

Cách 1:

Dễ thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số bằng 0 nên nhận x = 1 làm một

nghiệm.Chia f(x) cho x - 1 ta thu được đa thức x²- 4 có nghiệm x = 2. Như vậy

đa thức đã cho có các nghiệm là: x = 1; x =2

Cách 2:

Ta có f(x) = x³- x²-4x + 4 = (x³- x²) - (4x - 4) =

= x²(x -1) - 4(x -1) = (x -1)(x²- 4 ) = (x -1)(x - 2 )(x + 2).

Vậy nghiệm của f(x) là x = 1; x =2

.

Cách 3:

Đa thức đã cho có các hệ số đều nguyên và hệ số cao nhất bằng 1.

Do đó nghiệm (nếu có) của f(x) là ước của hệ số tự do.

Hay x Ư(4) tức là x  1;2;4





Kiểm tra ta có: f(1) = 0

f(-1) = 6

nên x = 1 là nghiệm.

0 nên x = -1 không là nghiệm.

nên x = -2 là nghiệm.



f(-2) = 0

f(2) = 0

nên x = 2 là nghiệm.

f(-4) = - 60

f(4) = 36



0 nên x = - 4 không là nghiệm.

nên x = 4 không là nghiệm.



0

Các cách giải khác nhau giúp học sinh có sự so sánh và chọn lựa phương pháp

sao cho nhanh gọn, dễ hiểu nhất. Tuy nhiên, với 1 đa thức bậc cao thì cách 1 và

cách 2 không dễ thực hiện. Lúc này nên dùng cách 3, song rõ ràng việc kiểm tra

nghiệm cũng không dễ khi hệ số cao nhất có giá trị lớn. Để việc kiểm tra các giá

trị ước số có phải là nghiệm không trở nên đơn giản hơn thì cần giúp HS tiếp

cận với sơ đồ Hoocne.

Một thực tế là nếu chỉ cung cấp cho HS lược đồ mà không hướng dẫn các em

tự xây dựng thì các em rất dễ quên nếu không sử dụng thường xuyên, và khi

quên thì không biết cách tìm lại nó. Như vậy, công việc tiếp theo của GV là

hướng dẫn HS xây dựng sơ đồ Hoocne.

10/19