SKKN Học cách vận dụng và khai thác bài toán
Trong chương trình toán Đại số chương trình THCS, các dạng bài tập về Bất đẳng thức là một mảng kiến thức khá rộng và phong phú. Song để giải được các bài tập trong dạng này yêu cầu học sinh phải có một kiến thức sâu rộng, bao quát, phải chịu khó tìm tòi suy nghĩ. Đi sâu vào loại toán này ta thấy rất nhiều dạng với phương pháp giải hết sức phong phú.
Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n
I . ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong chương trình toán Đại số chương trình THCS, các dạng bài tập về Bất
đẳng thức là một mảng kiến thức khá rộng và phong phú. Song để giải được các bài
tập trong dạng này yêu cầu học sinh phải có một kiến thức sâu rộng, bao quát, phải
chịu khó tìm tòi suy nghĩ. Đi sâu vào loại toán này ta thấy rất nhiều dạng với phương
pháp giải hết sức phong phú. Để giải được loại toán này đòi hỏi phải có suy luận lôgic
chặt chẽ, tư duy sáng tạo, kết hợp với việc huy động nhiều kiến thức bên ngoài. Do
vậy đây là một phần khó song nó lại có rất nhiều ứng dụng để làm các dạng bài tập
khác; làm tiên đề cho việc học tập, nghiên cứu các nội dung toán học có liên quan.
Chính vì thế tôi muốn đi từ một bài tập đơn giản để dẫn học sinh vào dạng toán này
để có thể tìm ra phương pháp tốt nhất trong việc truyền thụ và gây hứng thú cho học
sinh trong học tập.
Để có thể nâng cao hiệu quả trong giảng dạy về loại toán này, trước tiên phải
nắm được một số tính chất, định lý, và một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức. Từ
đó đưa ra các dạng bài tập và phương pháp vận dụng để giải dạng toán này, đồng thời
đưa ra các dạng bài tập có liên quan đến vấn đề đó để nhằm củng cố khắc sâu kiến
thức cho học sinh.
1
A NguyÔn ThÞ Lan
***
Gi¸o viªn tr-êng THCS DiÔn Léc A
Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n
II . NỘI DUNG:
Việc ứng dụng các bài toán cơ bản trong việc giải các bài tập khác nhau là một vấn
đề mà người học toán cần quan tâm. Đặc biệt là xuất phát từ những bài toán đơn
giản, biết cách vận dụng và khai thác nó là một vấn đề mà tất cả chúng ta cần quan
tâm.
Trong chương trình môn toán THCScó 1 bài toán quen thuộc (còn gọi là 1 bất
đẳng thức cơ bản) mà việc ứng dụng của nó khi giải các bài tập khác về đại số và
hình học rất có hiệu quả, đặc biệt là trong chương trình môn toán lớp 8.
Bất đẳng thức đó như sau:
(a b)2
a, b ta có: a2 b2
2ab (*)
2
2
2
2
2(a b ) (a b)
Dễ thấy (*) (a b)2 4ab
a2 b2 2ab
Cả 3 đẳng thức trên đều tương đương với (a-b)2
đẳng thức a = b.
0 và do đó chúng xảy ra
Bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức: Với hai số dương a, b ta luôn có
a b
2
ab ( Bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm)
Bài tập 44 – sách bài tập toán 9 Tập 1
Ý nghĩa của (*) là nêu lên mối quan hệ giữa tổng hai số với tích của chúng hoặc
với tổng các bình phương của hai số đó.
Sau đây tôi xin đưa ra 1 vài ví dụ và bài tập minh họa cho việc vận dụng BĐT trên.
Ví dụ 1: a) Cho x và y là các số dương.
1 1
x y x y
4
Chứng minh rằng:
( Đề thi HSG Huyện lớp 9 vòng 1 năm học 2010 – 2011)
b) Với a, b là các số dương.
2
A NguyÔn ThÞ Lan
***
Gi¸o viªn tr-êng THCS DiÔn Léc A
Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n
1 1
a b
4
Chứng minh:
a b
( Đề kiểm tra năng lực giáo viên dạy giỏi trường năm học 2012 – 2013)
Giải: a) Thật vậy từ (a + b)2
4ab ta cúng có (x + y)2
4xy
1 1
4
x y
xy
4
x y x y
x y
1 1
4
a b
(a b)
b) Cách 1:Từ câu a ta có:
2 ab
= 4
a b
a b
1
1
2
Cách 2: Ta có a + b
;
a
b
ab
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 1: Cho a + b = 1. Chứng minh rằng:
1
a) a2 + b2
b) a4 + b4
2
1
8
1
c) a8 + b8
128
Giải:
a) Áp dụng BĐT trên ta có:
(a b)2
1
2
a2 + b2
2
1
2
Dấu “ = “ xảy ra
a = b =
b) Tương tự, áp dụng BĐT trên ta có:
2
1
(a2 b2 )2
1
8
2
a4 + b4
2
2
3
A NguyÔn ThÞ Lan
***
Gi¸o viªn tr-êng THCS DiÔn Léc A
Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n
1
(a4 b4 )4
1
8
2
c) a8 + b8
2
128
Ví dụ 2: (Thi học sinh giỏi Huyện lớp 9, năm học 2006 - 2007)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
(a+b)(b+c)(c+a)
8abc.
Để hướng dẫn học sinh áp dụng được BĐT trên vào bài toán đó thì ta phải xét
vế trái của BĐT. Nhưng việc áp dụng BĐT này như thế nào thì lại phải xét bình
phương của BĐT suy ra từ nó:
2
a b
2
2
Từ
2ab
a b 4ab
Tương tự, ta suy ra các BĐT khác:
(b+c)2 4bc; (c+a)2
4ca
Từ đó suy ra:
(a+b)2(b+c)2(c+a)2 64a2b2c2 ( Ví a, b, c > 0)
Suy ra: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc( ĐPCM)
Điều cốt lõi là ở bài toán này là HS phải bíêt vận dụng linh động BĐT (*) vào
để giải bài toán.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
a, b, c ta có: a2 + b2 + c2
ab + bc + ca.
Giải:
Áp dụng BĐT ( *), ta có:
a2 + b2
b2 + c2
c2 + a2
2ab
2bc
2ca
Cộng vế theo vế của các BĐT trên ta có:
2(a2 + b2 + c2 )
2(ab + bc + ca)
4
A NguyÔn ThÞ Lan
***
Gi¸o viªn tr-êng THCS DiÔn Léc A
Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n
Suy ra:
a2 + b2 + c2
ab + bc + ca( ĐPCM)
Ví dụ 4: ( Đề thi KSCL đầu khá Lớp 8 năm học 2006 - 2007 )
Chứng minh rằng:
a
b
b
a
a) Nếu ab > 0 thì
b) Nếu ab < 0 thì
2
a
b
b
a
2
Giải: Từ BĐT (*) ta có: a2 + b2
2ab
a2 b2
a
b
b
a) Do ab > 0
b) Do ab < 0
2
2
ab
a
a2 b2
a
b
b
a
2
2
ab
a b
2
a2 b2
Từ BĐT (*), ta suy ra được
Từ đó ta có ví dụ sau.
2
Ví dụ 5: Cho u, v là các số dương và u + v = 1.
Chứng minh rằng:
2
2
1
1
25
2
u
v
u
v
Áp dụng ví dụ 4, ta có lời giải như sau:
1
1
Đặt a = u + ; b = v + . Như vậy:
u
v
2
2
2
a2 b2
1
2
1
1
a b
2
u
v
2
u
v
2
2
2
1
1
1
1
1
u v
u v
1
u
v
u
v
uv
2
2
2
2
1 4
2
25
2
5
A NguyÔn ThÞ Lan
***
Gi¸o viªn tr-êng THCS DiÔn Léc A
Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n
2
1
u v
2
1
4
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi u = v = ( Vì uv
do đó
2
1
4
1
uv
hay
4 ).
uv
Ví dụ 6: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a2 + b2
2
Chứng minh : a + b
2
Giải:
Từ BĐT a2 + b2
Hay ab
Và từ a2 + b2 2
a + b
Ví dụ 7 ( Chứng minh BĐT CôSi cho 4 số ).
Chứng minh rằng: a, b, c, d ta có:
a4 + b4 + c4 + d4 4abcd
2
2
2ab
1 (1)
2
a b
2 2ab 4
2
Giải:
Áp dụng BĐT (*) ta có:
a4 + b4
c4 + d4
2a2b2
2c2d2
Từ đó suy ra: a4 + b4 + c4 + d4
Ta lại có: a2b2 + c2d2
2abcd
2(a2b2 + c2d2)
Vậy a4 + b4 + c4 + d4 4abcd (ĐPCM)
Ví dụ 8: Chứng minh rằng:
a) a2 + b2 +1
ab + a + b
b) a2 + b2 + c2 +3
2(a + b + c )
Giải:
a) Áp dụng BĐT (*) ta có:
6
A NguyÔn ThÞ Lan
***
Gi¸o viªn tr-êng THCS DiÔn Léc A
Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n
a2 + b2
a2 + 1
b2 + 1
2ab
2a
2b
Từ đó suy ra: 2a2 + 2b2 + 1
b) Tương tự ta có:
2(ab + a + b )
a2 + 1
b2 + 1
c2 + 1
2a
2b
2c
Suy ra: a2 +1 + b2 +1 + c2 +1
Hay a2 + b2 + c2
2(a + b + c )
2a + 2b + 2c
Ví dụ 9. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
x2 y2 z2
x
y
y
z
z
y2 z2 x2
x
Giải:
x
y
z
Cách 1: Đặt
a, b, c
y
z
x
Thì lúc đó bài toán trở thành:
* a2 + b2 + c2
a + b + c.
Vì x, y, z > 0 suy ra: a + b +c
3
Ví dụ 10. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1.
1
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2
3
Giải:
Từ a + b + c = 1
Suy ra a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 1
Từ BĐT (*) ta có: a2 + b2
2ab; ...
7
A NguyÔn ThÞ Lan
***
Gi¸o viªn tr-êng THCS DiÔn Léc A
Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n
Ta có: a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
a2 + b2 + c2 + a2 + b2 + c2 + a2 + b2 + c2
Hay 1
3(a2 + b2 + c2)
1
3
a2 + b2 + c2
Ví dụ 11. Cho a, b, c là các sô thực.
Chứng minh rằng: a4 + b 4 + c4
abc(a + b + c)
Giải:
Áp dung BĐT (*) ta có:
a4 + b4
b4 + c4
c4 + a2
2a2b2
2b2c2
2c2a2
Suy ra: a4 + b 4 + c4
a2b2 + b2c2 + c2a2
( 1 )
Mặt khác ta lại có:
a2b2 + b2c2
b2c2 + c2a2
c2a2 + a2b2
2ab2c
2abc2
2a2bc
a2b2 + b2c2 + c2a2
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 12: Cho a + b + c + d
abc(a + b + c)
( 2 )
1
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2
1
Giải:
Áp dụng BĐT ( * ), ta có:
a2 + b2
d2 + a2
2ab; b2 + c2
2da; a2 + c2
2bc; c2 + d2
2ac; b2 + d2
2cd;
2bd
Suy ra: 3(a2 + b2 + c2 + d2 )
2 ( ab + ac + ad + bc + bd + cd)
8
A NguyÔn ThÞ Lan
***
Gi¸o viªn tr-êng THCS DiÔn Léc A
Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n
4 (a2 + b2 + c2 + d2 )
a2 + b2 + c2 + d2
( a + b + c + d )2 = 22 = 4
1
1
Dấu “ = “
a = b = c = d =
2
Ví dụ 13: Chứng minh rằng:
a, b, c ta có: (a + b)2(b + c)2
4abc(a + b + c)
Giải:
Xét (a + b)2(b + c)2 = ( ab + ac + b2 + bc )2
ac (a b c)b 2
=
áp dụng BĐT (*) (a + b)2
Ta có 4abc(a + b + c)
Vậy (a + b)2(b + c)2
4abc(a + b + c)
Ví dụ 14: Cho a, b, c
4ab
ac (a b c)b 2
0
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2
Giải: Tương tự ví dụ 12 ta có:
(a + b)(c + d)
4(a2 + b2 + c2 + d2 )
Áp dụng BĐT (a + b)2
( a + b + c + d )2
4ab ta có:
(a b)(c d) 2
4(a b)(c d)
4(a2 + b2 + c2 + d2 )
4(a + b)(c + d)
Hay a2 + b2 + c2 + d2
(a + b)(c + d)
Ví dụ 16: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh:
bc ac ab
a b c
a.
b.
a
b
c
a
b
c
1
1
1
bc ac ab
a
b
c
Giải:
9
A NguyÔn ThÞ Lan
***
Gi¸o viªn tr-êng THCS DiÔn Léc A
Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n
bc ac ab
a. Áp dụng BĐT trên cho bộ 2 trong ba số dương:
,
,
a b
c
bc ac
bc ac
2
.
2c
a
b
a b
ac ab
ab bc
Tương tự:
2a
;
2b
b
c
c
a
Cộng vế theo vế 3 BĐT trên ta có đpcm.
b. Chứng minh tương tự.
I.Một số bài tập tương tự:
1/ Cho a + b = 2. Chứng minh rằng : a4 + b4
2
2/ Cho a, b, c
(0;1). Chứng minh rằng:
1
4
a) a(1 - a)
1
1
1
b) Các BĐT : a( 1 - b) > ; b(1 - c) > ; c( 1 - a) >
4
4
4
Không đồng thời xảy ra.
3/ Cho a1, a2, a3 ....... an
( 1 + a1 + a2 + ..... + an )2
(0;1). Chứng minh :
2
2
2
4 ( a1 + a2 + ..... + an )
4/ Cho a, b, c d, e
a2 + b2 + c2 + d2 + e2
5/ Cho a, b, c R. Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 + 3
2( a + b + c).
6/ Cho a, b, c, d 0. Chứng minh rằng:
(a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ( ac + 2)2(bd + 4)2.
II. Học sinh tìm thêm một số bài tập vận dụng BĐT để giải
R. Chứng minh rằng:
a( b + c + d + e)
10
A NguyÔn ThÞ Lan
***
Gi¸o viªn tr-êng THCS DiÔn Léc A
Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n
III. KẾT LUẬN:
Qua quá trình giảng dạy cho học sinh khá giỏi kết hợp với tìm tòi tài liệu tham
khảo, tôi đã đưa ra vấn đề từ một bài tập cơ bản có thể vận dụng để giải và tìm hiểu
một số các bài tập một cách đễ dàng hơn, giúp học sinh có hứng thú trong việc giải
một số bài tập về BĐT nói riêng và trong việc giải toán đại số nói chung.
11
A NguyÔn ThÞ Lan
***
Gi¸o viªn tr-êng THCS DiÔn Léc A
Tải về để xem bản đầy đủ
14 trang
10/03/2024
1320
Bạn đang xem 11 trang mẫu của tài liệu "SKKN Học cách vận dụng và khai thác bài toán", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- skkn_hoc_cach_van_dung_va_khai_thac_bai_toan.doc
