SKKN Góp phần rèn luyện kỹ năng giải bài tập hình học không gian cho học sinh lớp 11 thông qua một số dạng bài tập cơ bản

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ VIẾT THUẬT

-------------o0o------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài:

GÓP PHẦN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11

THÔNG QUA MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Môn: TOÁN

818 173

Người thực hiện: Mai Thị Khánh Xuân

Năm học 2019 - 2020

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ

Lí do chọn đề tài

Đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, dạy toán ở

trường phổ thông là dạy hoạt động toán học. Luyện tập cho học sinh giải được

bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát

triển tư duy logic, năng lực giải quyết vấn đề một cách sáng tạo.

Để học sinh giải được bài tập Toán trước tiên phải rèn luyện kỹ năng giải

Toán, giúp người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng

kiến thức, cách hệ thống các dạng bài tập.

Thực tiễn dạy học cho thấy khi học Hình học không gian (HHKG) rất

nhiều học sinh e ngại nhất là đối với đa số các học sinh nữ và các em có học lực

dưới mức trung bình khá. Nhưng nếu các em được rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ

năng giải các bài toán hình học không gian một cách có hệ thống, giáo viên xây

dựng được một số dạng bài tập toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán thì học

sinh có khả năng tốt hơn để giải bài toán trong không gian, các em sẽ thấy hứng

thú và yêu thích môn học hơn và sẽ dần dần bớt ngại khó khi làm bài tập, góp

phần nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường phổ thông. Những kỹ năng cơ bản

cần rèn luyện cho học sinh như kỹ năng vẽ hình, kỹ năng vận dụng các định lý,

quy tắc, phương pháp, kỹ năng sử dụng ngôn ngữ toán học,…hình thành cho các

em một số các kỹ năng và phương pháp giải bài tập, thông qua việc lựa chọn các

dạng bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.

Thực tế đã có một số đề tài nghiên cứu rèn luyện kỹ năng giải toán cho

học sinh theo các vấn đề khác nhau của chương trình Toán Trung học phổ

thông, nhưng chưa có đề tài nào đề cập đến vấn đề cụ thể về việc tập hợp một

cách có hệ thống các kỹ năng và các dạng bài tập cần thiết rèn luyện cho học

sinh khi dạy học Hình không gian lớp 11. Với những lí do như trên tác giả lựa

chọn đề tài:

“Góp phần rèn luyện kỹ năng giải bài tập Hình học không gian cho

học sinh lớp 11 thông qua một số dạng bài tập cơ bản”.

1

1. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài

+) Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.

+) Nghiên cứu kỹ năng giải một số dạng bài tập toán Hình học không gian

lớp 11.

+) Bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện một số kỹ năng giải toán Hình học

không gian chương trình hình học 11 THPT cho học sinh, góp phần nâng cao

chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông.

2. Đối tượng, phạm vị nghiên cứu

Quá trình dạy học các tiết luyện tập và ôn tập chương trình Hình Học

không gian cho học sinh lớp 11 .

3. Phương pháp nghiên cứu

3.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Khái niệm

+ “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay các khái niệm

đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự

vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”.

+ “Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở

bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ

thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp”.

+ “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận trong một

lĩnh vực nào đó vào thực tế”.

+ “Trong Toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng

minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”.

Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến

thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Nói

đến kỹ năng là nói đến cách thức thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành

động để đạt được mục đích đã định. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động.

3.2. Phương pháp điều tra quan sát

- Dạy Hình học không gian trong chương trình Toán THPT có hai quyển

SGK: SGK Hình học 11 nâng cao và SGK Hình học 11. Ở trường THPT Lê Viết

Thuật: dạy học sinh theo SGK Hình học 11 dành cho học sinh học ban cơ bản .

2

Trong chương trình lớp 11, học sinh được học đầy đủ và có hệ thống về

bộ môn HHKG. Đây là phần nội dung khó, phong phú và đa dạng về loại bài tập

đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, khả năng suy đoán, trí tưởng tượng

không gian, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán có nhiều bài tập đòi hỏi học sinh

phải có năng khiếu toán mới giải được. Cũng chính vì thế mà khi dạy học đòi

hỏi GV có khả năng rèn luyện kỷ năng giải các dạng bài tập cũng như các

phương pháp giải tương ứng từng dạng bài tập toán cho học sinh.

- Khi dạy và học toán HHKG nói chung các GV và học sinh thường gặp

một số khó khăn với nguyên nhân như là:

+) Học sinh có trí tưởng tượng không gian chưa tốt.

+) Do đặc thù môn học nên việc tiếp thu và sử dụng các kiến thức HHKG

là vấn đề khó đối với học sinh.

+) Học sinh quen với HHP nên dễ nhầm lẫn khi sử dụng các tính chất

trong hình học phẳng mà không đúng trong HHKG để giải Toán HHKG.

+) Vẫn còn một số học sinh chưa xác định đúng động cơ học tập nên chưa

chăm học và chưa chú ý khi học bài và làm bài tập.

+) Vẫn còn nhiều GV chưa chịu đổi mới phương pháp dạy học, dạy học

còn mang tính chất đối phó, truyền thụ một chiều.

3.3. Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập cơ Hình không gian chương

trình hình học 11 THPT

* Về kiến thức: Vận dụng các kiến thức được học của chương trình.

* Về phương pháp: Gv cần phải tổ chức cho học sinh được học tập trong

hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực, chủ động sáng tạo.

Chú trọng cho học sinh biết các phương pháp khác nhau, và biết lựa chọn

phương pháp để giải các bài toán. GV lựa chọn các ưu điểm của các phương pháp

dạy học đàm thoại, phương pháp dạy học vấn đáp, phương pháp dạy học phát hiện

và giải quyết vấn đề…để hướng dẫn, rèn luyện kỹ năng giải Toán cho học sinh.

* Về phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ cho học sinh: Rèn

luyện trí tưởng tượng không gian, khả năng chứng minh suy diễn, khả năng lập

luận có căn cứ, tư duy logic chặt chẽ.

3

* Về kỹ năng: Đề tài có ý tưởng thông qua một số dạng bài tập cơ bản

nhằm rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng cơ bản sau:

- Kỹ năng vẽ hình, dựng thiết diện.

- Kỹ năng chứng minh các quan hệ giữa các đối tượng hình học được học.

- Kỹ năng tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng.

- Kỹ năng chuyển đổi từ hình học tổng hợp sang công cụ véc tơ.

4

PHẦN II. NỘI DUNG

I. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình, dựng thiết diện và tính diện tích

thiết diện

1. Kỹ năng vẽ hình

Để giải được các bài tập Hình học không gian, trước hết phải rèn cho học

sinh đọc đề và hiểu được đề bài từ đó vẽ được hình biểu diễn.

1.1. Hình biểu diễn là hình được vẽ qua phép chiếu song song từ không gian

lên mặt phẳng, do vậy hình biểu diễn cần thỏa mãn các tính chất của phép

chiếu song song

+ Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng

và không làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó.

+ Biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành

đoạn thẳng.

+ Biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặc

trùng nhau.

+ Không làm thay đổi tỷ số độ dài hai đoạn thẳng cùng nằm trên một

đường thẳng hoạc hai đường thẳng song song.

1.2. Hình biểu diễn

Do những tính chất đã nêu của phép chiếu song song nên hình biểu diễn

được vẽ như sau:

- Hình tam giác => Hình tam giác có dạng tùy ý (tam giác thường, tam

giác cân, tam giác vuông).

- Hình bình hành => Hình bình hành tùy ý

(Hình bình hành , hình chữ nhật, hnh vuông, hình

thoi).

- Thường dùng e líp để biểu diễn đường tròn.

Do hình biểu diễn của bài tập hình không gian

phải thỏa mãn các tính chất đã nêu nên việc vẽ hình

biểu diễn khó hơn rất nhiều so với hình học phẳng,

5

đòi hỏi học sinh phải hiểu đề bài và biết cách vẽ hình biểu diễn khi học hình học

không gian. Người dạy qua các bài tập hướng dẫn học sinh vẽ hình biểu diễn

qua đó hình thành kỹ năng vẽ hình cho học sinh, thao tác đầu tiên để đi đến

bước tiếp theo hoàn thành lời giải của bài tập toán Hình học không gian.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD

- Bước 1: Vẽ tam giác bất kỳ BCD (một cạnh khuất)

- Bước 2: Lấy điểm A ngoài tam giác BCD

- Bước 3: Nối A với điểm B: B; D.

Ví dụ 2: Vẽ hình biểu diễn hình chóp tam giác đều S.ABC, có đường cao SH.

Vì hình chóp tam giác đều nên học sinh phải hiểu các tính chất của hình

chóp tam giác đều mới vẽ được hình biểu diễn.

- Vẽ đáy là tam giác ABC bất kỳ có nét

khuất AB (mặc dầu đáy là tam giác đều).

- Do đường cao SH của hình chóp tam giác

đều có H trùng với tâm của tam giác ABC, nên

vẽ H là giao của ba đường trung tuyến tam giác

ABC (do tam giác ABC đều).

- Vẽ SH (nhìn như vuông góc với AB).

- Nối SA; SB; SC.

Ví dụ 3. Vẽ hì hộp chữ nhật ABCD.A^’B^’C^’D^’

- Vẽ đáy ABCD là hình bình hành.

- Vẽ hình chữ nhật AA^’B^’B

- Từ các đỉnh C, D kẻ các đoạn thẳng CC^’, DD^’,

song song và bằng AA^’.

- Nối A^’B^’, B^’D^’, D^’B^’.

Qua quá trình luyện tập ra thêm các bài tập cho học sinh luyện tập từ đó

hình thành kỹ năng vẽ hình, lưu ý học sinh cố gắng vẽ hình biểu diễn phần khuất

càng ít thì hình vẽ cáng trực quan hơn trong quá trình sử dụng để tìm lời giải bài

tập toán.

6

2. Kỹ năng xác định thiết diện

Để xác định được thiết diện giữa một mặt phẳng với một khối đa diện quy

về xác định giao tuyến của đôi một hai mặt phẳng thiết diện cắt khối đa diện.

2.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Để xác định được giáo tuyến của hai mặt phẳng cần phải xác định cho học

sinh cách xác định giao tuyến

- Hướng 1: Xác định được 2 giao điểm - thường là kéo dài hai đường

thẳng trong cùng một mặt phẳng.

- Hướng 2: Xác định một điểm và phương của đường thẳng giao tuyến.

2.2. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nằm trong mp (P) và a là mộtđường thẳng

nằm trong mp ( P) và không song song với AB và Ac và không cắt các cạnh

của tam giá ABC. S là một điểm ở ngoài mặt phẳng ( P) và A’ là một điểm

thuộc SA .

Xác định thiết diện giao giữa mặt phẳng mp (A’,a) và tứ diện SABC.

Phân tích: Để xác định được thiết diền ta phải xác định được giao tuyến

của các cặp mặt phẳng: mp (A’,a) và (SAB); mp (A’,a) và (SAC) và mp (A’,a)

và (SBC).

Lời giải

- Xác định giao tuyến của mp (A’,a) và (SAB)

Ta có: A’  SA mà SA  ( SAB)  A’ ( SAB)

A’  ( A’,a)

 A’ là điểm chung của ( A’,a) và (SAB )

Trong ( P) , ta có a không song song với AB

Gọi E = a  AB

=> E  AB mà AB  (SAB )  E  (SAB )

=> E  ( A’,a)

 E là điểm chung của ( A’,a) và (SAB )

Vậy: A’E là giao tuyến của ( A’,a) và (SAB )

- Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAC)

7

Ta có: A’  SA mà SA  ( SAC)

=> A’ ( SAC)

A’  ( A’,a)

=> A’ là điểm chung của (A’,a) và (SAC)

Trong (P), ta có a không song song với AC

Gọi F = a  AC

F AC mà AC  (SAC )  F  (SAC )

E  ( A’,a)

=> F là điểm chung của ( A’,a) và (SAC )

Vậy: A’F là giao tuyến của ( A’,a) và (SAC )

- Xác giao tuyến của (A’,a) và (SBC)

Trong (SAB) , gọi M = SB  A’E

M  SB

mà

SB  ( SBC) => M ( SBC)

M  A’E mà A’E  ( A’,a) => M ( A’,a)

=> M là điểm chung của mp ( A’,a) và (SBC )

Trong (SAC ) , gọi N = SC  A’F

N  SC mà

SC  ( SBC) => N ( SBC)

N  A’F mà A’F  ( A’,a) => N ( A’,a)

 N là điểm chung của mp ( A’,a) và (SBC )

Vậy: MN là giao tuyến của ( A’,a) và (SBC ).

Ta có thiết diện cần xác định là: A’MN

Ví dụ 2. Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng. Trên

các đoạn thẳng AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không

song song với BC. Xác định thiết diện giao của mặt phẳng ( MNP) với tứ diện

ABCD.

Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao tuyến của mp MNP

với các mặt của tứ diện. Dể thấy MN, MP là giao tuyến của (MNP) với (ABC)

và (ABD). Chỉ cần xác định hai giao tuyến của (MNP) với (BCD) và (ACD).

8

Lời giải:

- Kéo dài MN cắt BC kéo dài tại E

=> E là điểm chung của (BCD) và (MNP)

 ME là giao tuyến của (ABC) và (MNP) .

- Nối E với P cắt CD tại Q

=> EQ là giao tuyến (BCD) với (MNP).

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lấy hai điểm M, N sao cho

MN không song song với CD, gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.

Xác định thiết diện giao giữa mặt phẳng (OMN) với tứ diện ABCD.

Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao tuyến của

mp(OMN) với các mặt của tứ diện.Xác định giao tuyến các cặp mặt phẳng:

(OMN) với (BCD); (OMN) với(ABC) và (OMN) với (ABD).

Lời giải:

- Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD)

Ta có: O là điểm chung của (OMN) và (BCD)

Trong (ACD), MN không song song CD

Gọi I = MN  CD

=> I là điểm chung của (OMN ) và (BCD)

Vậy : OI  (OMN )  (BCD )

- Tìm giao điểm của BC với (OMN)

Trong (BCD), gọi P = BC  OI

Vậy : P = BC  ( OMN)

- Tìm giao điểm của BD với (OMN)

Trong (BCD), gọi Q = BD  OI

Vậy : Q = BD  ( OMN )

Nối QN; MP ta có thiết diện là: MNQP.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD, các

điểm M, N, P lần lượt là các điểm trên SA, SB, SD.

Xác định giao tuyến giữa mặt phẳng (MNP) với hình chóp S.ABCD.

9

Phân tích: Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao điểm

của mặt phẳng (MNP) với SC.

Lời giải:

- Nối BD và AC cắt nhau tại O.

- Tìm giao điểm I của SO với mặt

phẳng (MNP)

Nối MN, SO tao có giao điểm SO và

BD chính là điểm I.

- Trong mặt phẳng (SAC) nối MI kéo

dài cắt SC tại Q.

- Nối PQ, NQ ta có: thiết diện MNQP

cần xác định.

** Xác định thiết diện qua các giao tuyến khi biết một điểm và phương

của đường thẳng, đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức về quan hệ song

song giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

Ví dụ 5. Cho hình vuông cạnh a, tâm O . Gọi S là một điểm ở ngoài mặt

phẳng (ABCD) sao cho SB = SD.

Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x, mặt phẳng () qua M song

song với SA và BD.

a. Xác đinh thiết diện giao giữa mặt phẳng () với hình chóp SABO.

b. Cho SA = a . Tính diện tích thiết diện theo a và x, tìm giá trị x để diện

tích lớn nhất.

Phân tích: Để xác định được thiết diện cần tìm, ta phải xác định được

giao tuyến của mặt phẳng () với các mặt phẳng (ABO); (SAB); (SBO) và

(SAO). Giả thiết đã cho xác định điểm M và trực quan từ hình vẽ. Do đó cần

hướng dẫn học sinh xác định được phương các phương của giao tuyến nhờ kiến

thức về đường thẳng, mặt phẳng song song.

Lời giải:

a. Ta có mp() // BD mà BD mp(ABO), M là điểm chung

=> Giao tuyến của mp() và mp(ABO) là đường thẳng đi qua M nằm

trong mp(ABO) và song song với BD.

10