SKKN Dùng bất đẳng thức để giải phương trình, hệ phương trình

“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh “

I. phÇn më ®Çu

I.1. Lý do chän ®Ò tµi.

Gióp ®ì häc sinh lµ mét trong nh÷ng nhiÖm vô quan träng nhÊt mµ

ng-êi thÇy nhÊt thiÕt ph¶i lµm. NhiÖm vô ®ã kh«ng ph¶i lµ dÔ nã ®ßi

hái ph¶i cã thêi gian, kinh nghiÖm, ph¶i cã lßng tËn t©m vµ nh÷ng

nguyªn t¾c ®óng ®¾n. Ng-êi häc sinh víi sù nç lùc cña b¶n th©n ph¶i

thu ®-îc cµng nhiÒu cµng tèt nh÷ng kinh nghiÖm ®éc lËp c«ng t¸c.

Nh-ng nÕu Häc sinh ®øng mét m×nh tr-íc mét bµi to¸n mµ kh«ng cã

gióp ®ì nµo, hay mét sù gióp ®ì qu¸ Ýt th× kh«ng thÓ tiÕn bé g× ®-îc.

MÆt kh¸c nÕu thÇy gióp ®ì nhiÒu qu¸ th× häc sinh ch¼ng cßn g× ph¶i

lµm. ThÇy gi¸o ph¶i gióp ®ì võa ph¶i kh«ng nhiÒu qu¸, còng Ýt qu¸ vµ

nh- vËy ®Ó häc sinh cã mét c«ng viÖc hîp lý.

Trong c¸c k× thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn, cÊp tØnh cña trung häc

c¬ së vµ thi vµo líp 10 chóng ta th-êng gÆp bµi to¸n gi¶i ph-¬ng tr×nh,

hÖ ph-¬ng tr×nh kh«ng chÝnh t¾c, chóng th-êng ®-îc thiÕt kÕ d-íi ý

t-ëng cña mét bÊt ®¼ng thøc tÝnh chÊt bÊt ®¼ng thøc nµo ®ã.

Ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh kh«ng chÝnh t¾c lµ sù phèi hîp

nhiÒu luång kiÕn thøc, kÜ n¨ng gi¶i to¸n. Bµi to¸n ®ßi hái ng-êi lµm

to¸n ph¶i hiÓu biÕt s©u s¾c bÊt ®¼ng thøc, linh ho¹t trong sö dông.

Ng-êi lµm to¸n cÇn t×m tßi, cñng cè hÖ thèng, liªn hÖ c¸c kiÕn thøc,

®ång thêi tËp cho chóng ta lµm quen víi nghiªn cøu, kh¸m ph¸ vÎ ®Ñp

to¸n häc.

Lµ gi¸o viªn d¹y to¸n nhiÒu n¨m t«i nhËn thÊy cÇn ph¶i tËp hîp

l¹i thµnh mét chuyªn ®Ò ®Ó d¹y cho häc sinh sö dông d¹ng to¸n mét

c¸ch cã hÖ thèng nh»m cho häc sinh hiÓu râ vµ sö dông d¹ng to¸n mét

NguyÔn ThÞ H¹nh – Tr-êng THCS M¹o Khª II

“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh “

c¸ch chÝnh x¸c, linh ho¹t, kh¬i d¹y tÝnh tÝch cùc, chñ ®éng, tù gi¸c häc

tËp cña häc sinh nh»m gióp häc sinh cã thÓ gi¶i mét sè bµi to¸n nhanh,

gän vµ tiÕt kiÖm ®-îc thêi gian .

C¨n cø vµo thùc tÕ trªn, yªu cÇu cña viÖc båi d-ìng häc sinh kh¸

giái vµ ®Æc biÖt lµ viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc chñ ®éng s¸ng t¹o cña

häc sinh trong ho¹t ®éng häc tËp. Víi c¸c lý do nªu trªn t«i cã ý t-ëng

x©y dùng ®Ò tµi: “Dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh hÖ ph-¬ng

tr×nh”.

I.2.TÝnh cÇn thiÕt cña ®Ò tµi.

Theo ®Ò tµi nµy khi ®-a vµo ¸p dông sÏ cã t¸c dông sau:

Nh»m n©ng cao chÊt l-îng “Gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh

b»ng ph-¬ng ph¸p dïng bÊt ®»ng thøc”. Gióp cho thÇy vµ trß

trong d¹y vµ häc ®¹t ®-îc kÕt qu¶ cao trong c¸c kú thi, kú thi

häc sinh giái To¸n, gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh bá tói khèi

THCS, häc sinh cã niÒm tin vµ kü n¨ng vËn dông d¹ng to¸n

gi¶i ph-¬ng tr×nh vµ hÖ ph-¬ng tr×nh. Gãp phÇn n©ng cao

chÊt l-îng d¹y häc to¸n vµ c¸c bé m«n kh¸c ngµy cµng cao

h¬n.

I.2. Môc ®Ých nghiªn cøu.

Häc sinh ®¹t ®-îc Gi¶i ph-¬ng tr×nh vµ hÖ ph-¬ng tr×nh b»ng

ph-¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc .

I.3. §èi t-îng, ph¹m vi, kÕ ho¹ch, thêi gian

nghiªn cøu.

4.1. §èi t-îng nghiªn cøu:

- C¸c d¹ng to¸n gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh và c¸c bÊt

®¼ng thøc trong ch-¬ng tr×nh THCS.

4.2. Ph¹m vi nghiªn cøu:

Häc sinh c¸c líp khèi 8 khèi 9 ë tr-êng THCS M¹o Khª II -

§«ng TriÒu - Qu¶ng Ninh

NguyÔn ThÞ H¹nh – Tr-êng THCS M¹o Khª II

“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh “

4.3.Thêi gian nghiªn cøu: N¨m häc 2005- 2006; 2006- 2007;

2007- 2008; 2008- 2009; 2009 - 2010.

I.4. §ãng gãp míi vÒ mÆt lý luËn vµ thùc tiÔn

I.4.1. C¬ së lÝ lô©n

Nãi ®Õn d¹y häc lµ mét c«ng viÖc võa mang tÝnh khoa häc võa

mang tÝnh nghÖ thuËt. Do ®ã ®ßi hái ng-êi gi¸o viªn cÇn cã n¨ng lùc

s- ph¹m v÷ng vµng, ph-¬ng ph¸p gi¶ng d¹y phï hîp theo h-íng tÝch

cùc gióp häc sinh chñ ®éng trong viÖc chiÕm lÜnh kiÕn thøc. ViÖc t¹o

cho häc sinh niÒm høng thó trong häc tËp “Gi¶i ph-¬ng tr×nh hÖ

ph-¬ng tr×nh b»ng ph-¬ng ph¸p dïng bÊt ®»ng thøc” hoµn toµn phô

thuéc vµo n¨ng lùc s- ph¹m cña gi¸o viªn . Ngoµi viÖc lªn líp ng-êi

gi¸o viªn ph¶i kh«ng ngõng häc hái, t×m tßi tµi liÖu cã liªn quan ®Ó

lµm sao cã thÓ truyÒn thô cho häc sinh mét c¸ch nhÑ nhµng, dÔ hiÓu,

phï hîp víi kh¶ n¨ng tiÕp thu cña tõng ®èi t-îng häc sinh.

H-íng ®æi míi ph-¬ng ph¸p d¹y häc To¸n hiÖn nay ë tr-êng

THCS lµ tÝch cùc hãa ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh, kh¬i dËy vµ ph¸t

triÓn kh¶ n¨ng tù häc, nh»m h×nh thµnh cho häc sinh t- duy tÝch cùc,

®éc lËp, s¸ng t¹o, n©ng cao n¨ng lùc ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò,

rÌn luyÖn kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc vµo thùc tiÔn: t¸c ®éng ®Õn t×nh

c¶m ®em l¹i niÒm vui, høng thó häc tËp cho häc sinh. §Æc biÖt lµ trong

n¨m häc nµy toµn ngµnh gi¸o dôc ®ang ra søc thùc hiÖn cuéc vËn ®éng

“X©y dùng tr-êng häc th©n thiÖn, häc sinh tÝch cùc ” th× viÖc t¹o høng

thó häc tËp cho häc sinh còng chÝnh lµ t¹o cho c¸c em cã niÒm tin

trong häc tËp, kh¬i dËy trong c¸c em ý thøc “mçi ngµy ®Õn tr-êng lµ

mét niÒm vui”

I.4.2. C¬ së thùc tiÔn

B¶n th©n t«i lµ mét gi¸o viªn ®· trùc tiÕp gi¶ng d¹y m«n To¸n t«i cã

nhiÒu n¨m tham gia vµo c«ng t¸c båi d-ìng häc sinh giái m«n To¸n,

To¸n trªn m¸y tÝnh t¹i tr-êng THCS M¹o Khª II t«i thÊy r»ng:

NguyÔn ThÞ H¹nh – Tr-êng THCS M¹o Khª II

“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh “

- §èi víi häc sinh gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh b»ng ph-¬ng

ph¸p dïng “bÊt ®¼ng thøc” c¸c em rÊt tÝch cùc v× mét sè ®iÒu nh- kÕt

qu¶ nhanh, chÝnh x¸c, lµm ®-îc nhiÒu bµi tËp trong kho¶ng thêi gian

ng¾n, t¹o høng thó cho häc sinh häc to¸n.

- §èi víi gi¸o viªn ®a sè trong khi ®ã kiÕn thøc ®· khã l¹i réng lín

vµ bao trïm. Do ®ã ®Ó thêi gian vµo nghiªn cøu, t×m tßi ®Ó cã kiÕn

thøc v÷ng vµ s©u th× rÊt khã, cã lÏ mäi ng-êi cïng mét suy nghÜ r»ng -

cè g¾ng hoµn thµnh nhiÖm vô lµ ®-îc cßn nghiªn cøu t×m tßi ®· cã c¸c

nhµ khoa häc.

- Nguyªn nh©n gãp phÇn kh«ng nhá n÷a cho r»ng viÖc nghiªn cøu

t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi to¸n lµ nh÷ng ng-êi ph¶i cã trÝ tuÖ, ph¶i lµ bËc

vÜ nh©n. Suy nghÜ nµy chØ ®óng mét phÇn v× “Ngäc kh«ng mµi th×

kh«ng s¸ng ®-îc”.

- Do ®ã ®ßi hái ng-êi gi¸o viªn ph¶i cã thêi gian, cã t©m huyÕt vµ

tinh thÇn häc hái cao th× míi ®¸p øng ®-îc chuyªn m«n, c«ng viÖc

gi¶ng d¹y cña m×nh. To¸n häc cao cÊp cã kiÕn thøc, cã c¸ch gi¶i

nhanh vµ khoa häc víi bµi to¸n trªn song kh«ng vËn dông ®-îc vµo

cÊp häc phæ th«ng, hoÆc ch-a t×m ®-îc ph-¬ng ph¸p khoa häc ®Ó häc

sinh tiÕp cËn cho phï hîp víi ch-¬ng tr×nh häc, vµ néi dung s¸ch gi¸o

khoa hiÖn hµnh.

II. phÇn néi dung

II.1.1. Mét sè thµnh tùu

Thùc tÕ qua theo dâi chÊt l-îng båi d-ìng häc sinh giái ë khèi

8, 9 cã ¸p dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm trªn th× t«i thÊy r»ng ®a sè c¸c

em tÝch cùc t- duy, høng thó víi bµi tËp míi, kiÕn thøc míi h¬n so víi

c¸c líp cßn l¹i. §Æc biÖt lµ trong líp lu«n cã sù thi ®ua t×m ra c¸ch gi¶i

hay nhÊt, nhanh nhÊt. Kh«ng khÝ líp häc lu«n s«i næi, kh«ng gß bã,

häc sinh ®-îc ®éc lËp t- duy. §iÒu høng thó h¬n lµ ph¸t huy ®-îc trÝ

NguyÔn ThÞ H¹nh – Tr-êng THCS M¹o Khª II

“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh “

lùc cña c¸c em, gióp c¸c em ph¸t triÓn kü n¨ng nghiªn cøu khoa häc

høng thó trong viÖc t×m tßi kiÕn thøc míi, kü n¨ng míi.

II.1.2. Mét sè tån t¹i vµ nguyªn nh©n

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy ®-îc ¸p dông trong hai khèi 8 vµ

khèi 9 kh¶ n¨ng nhËn thøc cña häc sinh kh«ng ®ång ®Òu, ®a sè häc

sinh cßn thiÕu ®éng c¬ häc tËp, l-êi häc, kh«ng tÝch cùc häc tËp v×

cho r»ng ®©y lµ chuyªn ®Ò khã kh«ng quan träng, kh«ng thiÕt thùc vËy

viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña mét sè häc sinh ®ã rÊt h¹n chÕ. H¬n

n÷a nh÷ng häc sinh trªn Ýt ®-îc sù quan t©m cña gia ®×nh.V× vËy ®ßi

hái sù cè g¾ng tËn t©m cña ng-êi thÇy dÇn gióp c¸c em hßa nhËp víi

kh¶ n¨ng nhËn thøc chung cu¶ m«n häc.

II.13. VÊn ®Ò ®Æt ra

RÌn luyÖn “Gi¶i ph-¬ng tr×nh hÖ ph-¬ng tr×nh b»ng ph-¬ng ph¸p

dïng bÊt ®»ng thøc” lµ mét trong nh÷ng c¸ch h×nh thµnh kiÕn thøc, kü

n¨ng míi cho häc sinh ph-¬ng ph¸p luyÖn tËp th«ng qua bµi tËp lµ

quan träng ®Ó n©ng cao chÊt l-îng d¹y vµ häc bé m«n. Víi häc sinh

häat ®éng gi¶i bµi tËp lµ ho¹t ®éng tÝch cùc cã t¸c dông sau:

- RÌn kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc ®· häc, kiÕn thøc tiÕp thu ®-îc

qua bµi gi¶ng thµnh kiÕn thøc cña m×nh, kiÕn thøc ®-îc nhí l©u khi

®-îc vËn dông th-êng xuyªn.

- §µo s©u më réng kiÕn thøc ®· häc mét c¸ch sinh ®éng, phong

phó, hÊp dÉn.

- Lµ ph-¬ng tiÖn ®Ó «n tËp, cñng cè, hÖ thèng ho¸ mét c¸ch tèt

nhÊt kiÕn thøc ®· häc.

- Ph¸t triÓn n¨ng lùc nhËn thøc, rÌn trÝ th«ng minh cho häc sinh.

II.2.¸p dông trong gi¶ng d¹y

II.2.1.c¸c b-íc tiÕn hµnh

NguyÔn ThÞ H¹nh – Tr-êng THCS M¹o Khª II

“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh “

§Ó båi d-ìng häc sinh giái To¸n nãi chung vµ gi¶i to¸n trªn m¸y

tÝnh nãi riªng cã hiÖu qu¶ theo t«i ph¶i lµm ®-îc nh÷ng c«ng viÖc sau:

- §Çu n¨m ph©n lo¹i ®èi t-îng häc sinh, chän nh÷ng em häc kh¸

To¸n trë lªn vµ ch¨m häc vµo ®éi tuyÓn HSG To¸n.

- ChuÈn bÞ tµi liÖu, s¸ch tham kh¶o, s¸ch n©ng cao m«n To¸n.

- So¹n néi dung båi d-ìng häc sinh giái, trong néi dung båi d-ìng

häc sinh giái ph¶i hÖ thèng, ph©n lo¹i ®-îc tõng d¹ng To¸n ë khèi

®-îc ph©n c«ng båi d-ìng

- Lªn kÕ ho¹ch båi d-ìng häc sinh giái theo tõng tuÇn .

- Th-êng xuyªn t×m hiÓu vµ nghiªn cøu c¸c kiÕn thøc cã liªn quan trªn

m¹ng internet.

KÕ ho¹ch båi d-ìng häc sinh giái : D¹y tõ 2 – 3 buæi trong mét tuÇn.

Ii.2.2. Qu¸ tr×nh thùc hiÖn

I)- ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy

1. KiÕn thøc

BÊt ®¼ng thøc Cauchy lµ mét bÊt ®¼ng thøc quen thuéc ®èi cíi

hÇu hÕt häc sinh. Tuy nhiªn, ng-êi ta vÉn x©y dùng ®-îc nhiÒu bµi

to¸n míi hay khã. BÊt ®¼ng thøc cauchy ®-îc ph¸t biÓu:

Cho d·y sè kh«ng ©m a₁,a₂,......a_n. Ta cã bÊt ®¼ng thøc:

a₁ a₂ .....a_n

ⁿa₁a₂...a_n

n

Vµ dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a₁=a₂=....=a_n

BÊt ®¼ng thøc ®-îc chÝnh minh trong rÊt nhiÒu tµi liÖu, xin phÐp

kh«ng tr×nh bµy chøng minh trong bµi viÕt nµy.

2. Mét sè vÝ dô.

Ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh gi¶i b»ng c¸ch dïng bÊt ®¼ng thøc

cauchy rÊt phong phó vµ ®a d¹ng. Th«ng qua c¸c vÝ dô ®iÓn h×nh mong

r»ng chóng ta sÏ nhËn d¹ng nhanh ®Æc ®iÓm cña bµi to¸n.

NguyÔn ThÞ H¹nh – Tr-êng THCS M¹o Khª II

“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh “

VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:

x  y  z  4  2. x  2  4. y  3  6. z  5

(TuyÓn sinh 10, THPT Lª Hång Phong TP Hå ChÝ Minh - 1993 -

1994)

* Lêi gi¶i:

§iÒu kiÖn cã nghÜa: x  2 ; y  3 ; z  5.

¸p dông BÊt ®¼ng th-c Cauchy, ta cã:

2 x  2  x  2 1

(1)

(3)

(2)

4

y  3  y  3  4

6 z 5  z 5 9

Céng (1), (2), (3), ta cã:

2 x  2  4 y 3  6. z 5  x  y  z  4

§¼ng thøc x¶y ra:

Khi

x - 2 = 1

y - 3 = 2

z - 5 = 3

VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ: (x ; y, z) = (3, 5, 8)

NhËn xÐt: §©y lµ ph-¬ng tr×nh v« tû kh«ng chÝnh t¾c, bµi to¸n

cßn cã nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c, tuy nhiªn víi c¸ch gi¶i dïng bÊt ®¼ng

thøc Cauchy lµ dông ý cña ng-êi viÕt. §©y lµ bµi to¸n c¬ b¶n, chóng ta

cã thÓ t¹o nhiÒu bµi t-¬ng tù víi mét chót biÕn ®æi.

VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 16x⁴ 5  6³4x³ x

Lêi gi¶i:

§iÒu kiÖn cã nghÜa: V× 16x⁴+ 5 > 0 nªn 4x³ x > 0  x > 0

3

NguyÔn ThÞ H¹nh – Tr-êng THCS M¹o Khª II

“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh “

¸p dông BÊt ®¼ng thøc Cauchy cho 3 sè d-¬ng 4x; 4x²+1 ; 2 ta

cã:

6³4x³ x  3³4x(4x³1).2  4x  (4x²1)  2  4x² 4x  3

=> 16x³+ 5  4x²+ 4x + 3

 8x³+ 2x²- 2x + 1  0

 (2x-1)². (2x²+ 2x + 1)  0

 (2x - 1)² 0, v× (2x - 1)² 0, nªn x = 1/2 tháa m·n

NhËn xÐt: §©y lµ bµi to¸n ph-¬ng tr×nh v« tû khã, hiÓu gi¶i b»ng

c¸ch n©ng lªn lòy thõa th× bµi to¸n phøc t¹p vµ khã gi¶i ®-îc . B»ng

c¸ch quan s¸t, sö dông ®iÒu kiÖn hîp lý, bÊt ®¼ng thøc Cauchy kÕt hîp

víi biÕn ®æi t-¬ng ®«ng chóng ta t×m ra lêi gi¶i. Quan s¸t kü chóng ta

cã thÓ t¹o ra mét líp bµi to¸n b»ng c¸ch biÓn ®æi ®i lªn.

VÝ dô 3: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh

1

2x²

 3

y⁴

1

x⁴

2y²

Lêi gi¶i:

1

x²

1

y²

2x²

 2y²

 6

Céng vÕ víi vÕ ta cã:

(1)

1

2

¸p dông BÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: x² x²  3. x x .  3

3

x⁴

1

y⁴

1

y⁴

2

y² y²

 3. y y .

 3

3

1

x⁴

x²

NguyÔn ThÞ H¹nh – Tr-êng THCS M¹o Khª II

“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh “

1

y⁴

VËy dÊu b»ng x¶y ra ë (1) khi:

y²

 x =  1

y =  1

VËy tËp nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh lµ:

( x ; y) = {(1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1)

xøng lo¹i 2, bµi to¸n cã thÓ gi¶i theo ph-¬ng tr×nh chung ®ã. VËn dông

bÊt ®¼ng thøc cauchy trong bµi lµ lêi gi¶i ®éc ®¸o vµ s¸ng t¹o. ChØ sö

dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy th× ph-¬ng tr×nh (1) dÔ ph¸t hiÖn h¬n so

víi hÖ ph-¬ng tr×nh ®Çu bµi cho. ¸p dông c¸ch gi¶i, ta cã thÓ t¹o ra

nhiÒu bµi hay vµ khã h¬n.

VÝ dô 4: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh :

2x²

 y

1 x²

2y²

 z

1 y²

2z²

 x

1 z²

Lêi gi¶i:

DÔ thÊy ( x; y; z) = (0; 0; 0) lµ mét nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh

XÐt x # 0 th× y # 0, z # vµ x, y, z > 0

¸p dông BÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: 1+ x² 2x , 1+ y² 2y ,1

+z²2z.

NguyÔn ThÞ H¹nh – Tr-êng THCS M¹o Khª II

“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh “

2x²

1 x²

2y²

1 y²

2z²

1 z²

Nªn ta cã:

 x

;

 y

;

 z VËy tõ hÖ ph-¬ng tr×nh ta

cã:

1)}

y  x  z  y do ®ã x = y = z . Gi¶i ra ta cã: x = y = z = 1

VËy hÖ ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm (x, y, z) = {(0, 0, 0) ; (1, 1,

gi¶i trªn, bµi to¸n cßn c¸ch gi¶i kh¸c. Tuy nhiªn c¸ch gi¶i trªn ng¾n

gän, phï hîp víi häc sinh THCS h¬n, BÊt ®¼ng thøc Cauchy ®· ®em

l¹i lêi gi¶i hay, ®éc ®¸o.

II)- ¸p dông bÊt ®¼ng thøc BUNHIAC¤PSKI.

1- KiÕn thøc:

Khi nh¾c ®Õn bÊt ®¼ng thøc chóng ta kh«ng thÓ kh«ng nh¾c ®Õn

häc sinh, ®-îc sö dông nh- mét c«ng cô, trong phÇn nµy chóng ta

nghiªn cøu d-íi d¹ng øng dông gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh

kh«ng mÉu mùc. Tr-íc hÕt ta ph¸t biÓu bÊt ®öng thøc Binhiac«pski.

Gi¶ sö: a₁, a₂,…, a_nvµ b₁, b₂,…b_nlµ hai h·y sè tïy ý.

Ta cã bÊt ®¼ng thøc.

(a₁b₁+ a₂b₂…+ a_nb_n)  (a₁² a₂².... a_n²).(b² b₂².... b_n²)

.

1

a₁a₂

a_n

b_n

Vµ dÊu b»ng x¶y ra khi:



 ....

b

b₂

1

BÊt ®¼ng thøc ®-îc chøng minh trong rÊt nhiÒu tµi liÖu, xin phÐp

kh«ng tr×nh bµy c¸ch chøng minh trong bµi viÕt nµy.

2. Mét sè vÝ dô:

NguyÔn ThÞ H¹nh – Tr-êng THCS M¹o Khª II

“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh “

Kü thuËt dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski trong gi¶i ph-¬ng

tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh th-êng phong phó vµ ®a d¹ng. Khi gi¶i d¹ng

to¸n b»ng ph-¬ng ph¸p nµy, cÇn quan s¸t, cã kü n¨ng nhËn biÕt c¸c

VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh

x 1  x 3  2x² 4x 16

Lêi gi¶i:

§iÒu kiÖn cã nghÜa x  1

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhia-c«pki ta cã:

x 1  x 3  1²1². ( x 1)² (x 3)²

 x 1  x 3  2x² 4x 16

x 1 x 3

x 1 (x 3)²



§¼ng thøc x¶y ra 



1

x  3

x 3  0

x  3

x² 7x 10  0

 x = 5 (lo¹i x = 2 < 3). VËy ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt

x = 5.

NhËn xÐt: NhËn biÕt hai bé s x 1; x 3 vµ 1; 1 ®Ó dïng bÊt ®¼ng

thøc Bunhia -c«pski ®¸nh gi¸ vÕ tr¸i lµ mét kü thuËt hay vµ khã. Bµi

to¸n nµy nÕu gi¶i theo c¸ch kh¸c sÏ phøc t¹p vµ gÆp khã kh¨n, Chóng

ta cã thÓ t¹o ra nh÷ng bµi to¸n t-¬ng tù.

VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh

7  x  x 5  x²12x  38

(Thi häc sinh giái THCS TP Hå ChÝ Minh 2002 - 2003)

Lêi gi¶i:

NguyÔn ThÞ H¹nh – Tr-êng THCS M¹o Khª II