Đề tài Một số ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải toán

Trong việc dạy học toán, ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG  
TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1  
TỔ TOÁN  
–––––––––&––––––––  
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP  
LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI TOÁN  
Người thực hiện: PHẠM VĂN GIA  
Chức vụ: Giáo viên  
Lạng Giang, tháng 10 năm 2014  
MỤC LỤC  
NỘI DUNG  
Trang  
Phần I: Mở đầu………………..…………………………....................  
I. Lý do chọn đề tài ..................................................................................  
II. Mục đích nghiên cứu...........................................................................  
III. Nhiệm vụ nghiên cứu..........................................................................  
IV. Đối tượng nghiên cứu.........................................................................  
V. Phạm vi nghiên cứu.............................................................................  
VI. Những đóng góp của đề tài.................................................................  
Phần II: Nội dung nghiên cứu và kết quả  
2
2
2
2
3
3
3
Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài........................................  
Chương II: Ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải  
phương trình, hệ phương trình đại số ......................................................  
Chương III: Ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong bài toán  
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.................................................  
Chương IV: Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa trong bài toán  
tính tích phân ....................................................................................  
Chương V: Kết quả nghiên cứu........................................................  
Phần III: Kết luận và đề nghị..............………………………...……  
Danh mục tài liệu tham khảo...................................................................  
4
7
19  
26  
33  
34  
35  
1 | P a g e  
PHẦN I: MỞ ĐẦU  
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI  
Trong việc dạy học toán, ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán  
là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và  
vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học  
sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết . Trong chương trình  
môn toán ở cấp THPT cũng như trong các đề thi tuyển sinh vào các trường ĐH-  
CĐ và học sinh giỏi các cấp ta thường gặp các bài toán giải bằng phương pháp  
lượng giác hóa. Việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của hàm số lượng giác và  
phương trình lượng giác trong giải toán phổ thông luôn là vấn đề hấp dẫn. Để  
đáp ứng yêu cầu đó, tôi xin viết chuyên đề Một số ứng dụng của phương pháp  
lượng giác hóa trong giải toán” với phạm vi ứng dụng trong việc giải phương  
trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính  
tích phân. Hy vọng chuyên đề sẽ giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về  
phương pháp này.  
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU  
Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp lượng giác hóa nhằm  
nâng cao hiệu quả học tập cho học sinh  
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU  
Hệ thống hóa các bài tập sử dụng phương pháp lượng giác hóa trong giải  
toán  
Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của hệ thống các câu hỏi và bài tập đã  
được xây dựng  
2 | P a g e  
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU  
Đối tượng nghiên cứu: ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong  
việc giải phương trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất  
của hàm số, tính tích phân  
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU  
Nghiên cứu tài liệu tham khảo.  
Điều tra, khảo sát thực tế học sinh.  
Trao đổi cùng các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn.  
Tích lũy đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.  
VI. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI  
Trình bày rõ được cơ sở lí luận của phương pháp.  
Trình bày được 3 ứng dụng quan trọng của đề tài trong việc giải phương  
trình, hệ phương trình đại số; tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính  
tích phân.  
Nâng cao được trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, góp phần đổi  
mới phương pháp dạy học.  
3 | P a g e  
PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ  
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI  
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI  
Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan  
đến lượng giác hoá đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng  
cơ bản dạng toán, sử dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt  
phương pháp nào ngộ nhận là logic. Vấn đề ở chỗ những bài toán nào  
thích hợp cho việc lượng giác hoá.  
Những kiến thức liên quan:  
1. Các hàm số cơ bản:  
a. Hàm số: y sin x , y cos x .  
Miền xác định: R .  
Miền giá trị: 1;1 .  
Chu kì: 2.  
b. Hàm số: y tan x .  
2
Miền xác định: R \  
k,k Z .  
Miền giá trị: R .  
Chu kì: .  
c. Hàm số: y cot x.  
Miền xác định: R \ k,k Z .  
Miền giá trị: R .  
Chu kì: .  
4 | P a g e  
2. Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giá trị:  
4
4
Nếu A sin x cos x 2 cos(x ) 2 sin(x ) thì ta có  
2 A 2 .  
4
4
Nếu B cos x sin x 2 cos(x ) 2 sin(x )thì ta có  
2 B 2 .  
Nếu C sin x cos x thì ta có 2 2 C 2 2 .  
n
n
Nếu  
thì ta có 1D 1.  
D cos x sin x  
3. Phép đổi biến số:  
Nếu x k,(k 0) thì ta đặt x k cos,0;hoặc  
   
2 2  
x k sin,  ;  
.
   
2 2  
Nếu xR thì ta đặt x tan,  ;  
.
Nếu x, y thoả mãn điều kiện a2x2 b2 y2 c2 ,(a,b,c 0) thì ta đặt  
c
c
x sin, y cos,0;2.  
a
b
Nếu x, y, z thoả mãn x y z xyz hoặc xy yz zx 1 thì ta có thể đặt  
   
2 2  
, y tan, z tanvới ,,  ;  
x tan  
5 | P a g e  
4. Một số biểu thức (dấu hiệu) thường gặp:  
Biểu thức Cách đặt  
x a tan  
Miền giá trị của biến  
x2 a2  
   
  ;  
2 2  
(hoặc x a cot)  
(hoặc 0;)  
a2 x2  
x a sin  
   
2 2  
  ;  
(hoặc x a cos)  
(hoặc 0;)  
x2 a2  
a
x   
2
   
   
   
0;\  
cos  
a
hoặc a   
sin  
   
2 2  
hoặc   ;  
\ 0  
   
x acos2  
R  
R  
a x  
a x  
a x  
a x  
hoặc  
x a (b a)sin2   
(x a)(b x)  
x y  
1xy  
x y  
1xy  
   
2 2  
x tan  
hoặc  
,  ;  
y tan   
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI  
Đối với học sinh : Khi chưa cải tiến phương pháp mỗi lớp chỉ được rất ít  
em tập trung làm bài tập dạng này  
Đối với giáo viên : Sách giáo khoa hầu như bỏ qua dạng toán này, một  
số tài liệu cũng có điểm qua nhưng không có tính chất hệ thống .  
6 | P a g e  
Chương II: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA  
TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ.  
Dạng 1: Giải phương trình đa thức  
1
Ví dụ 1: Giải phương trình 4x3 3x   0 1  
   
2
Giải  
1
+ Xét với x1; , hàm số y 4x3 3x đồng biến  y 1 0 nên (1) vô  
   
2
nghiệm  
1
+ Xét với x ;1 , hàm số y 4x3 3x đồng biến và y 1 0 nên (1)  
   
2
vô nghiệm  
+ Xét với x 1;1 . Khi đó ta đặt  
với t0;. Phương trình lúc này  
x cost  
có dạng  
t    
9
k2  
3
k2  
3
1
1
4cos3 t 3cost   0 cos3t    
2
2
t     
9
9
7  
9
5  
9
9
7  
9
5  
9
t   
x cos  
t0;nên t   
x cos  
t   
x cos  
+ Vì phương trình (1) là phương trình bậc 3 nên chúng có tối đa 3 nghiệm , do  
đó phương trình (1) có đúng 3 nghiệm ở trên.  
7 | P a g e  
3
Chú ý: Trong phương trình có chứa  
, đây là dấu hiệu giúp đặt  
x cost  
4x 3x  
để sử dụng công thức góc nhân ba với cos3t  
Ví dụ 2: Tìm nghiệm x0;1 của phương trình  
1
32x x2 1 2x2 1 1  
  
1
   
x
Giải  
2
x0;1 nên ta đặt  
với t0;  
. Ta có phương trình  
x cost  
1
32cost cos2 t 1 2cos2 t 1 1  
  
cost  
 32cos2 t.sin2 t.cos2 2t cost 1 2sin2 4t 1cost cos8t cost  
2
   
2
Giải (2) và kết hợp điều kiện t0;  
ta được các nghiệm  
2  
7
2  
9
4  
9
t1   
;t2   
;t3   
2  
7
2  
9
4  
9
Do đó phương trình (1) có 3 nghiệm x1 cos ;x2 cos ;x3 cos  
3
Ví dụ 3: Cho phương trình  
thỏa mãn x32 2 x2  
Giải  
. Chứng minh có 3 nghiệm x x x  
x 3x 10  
1
2
3
Đặt f x x3 3x 1 . Ta có f 2 0; f 1 0; f 2 0  
 
 
 
 
 
 
   
Do tính liên tục của f x nên f x 0có 3 nghiệm x x x thỏa mãn  
 
 
   
1
2
3
2 x1  1x2 1x3 2 xi 2 i1,2,3  
0
0   
Khi đó ta đặt  
x 2cos, 0 ;180  
8 | P a g e  
1
2
Phương trình có dạng 8cos3 6cos10 cos3   
1
0
0   
Vì  
nên phương trình cos3  có 3 nghiệm  
0 ;180  
2
1 1600;2 800;3 400  
Vì vậy ... Dễ thấy x32 2 x2  
Một số bài tập tương tự  
6
4
2
Bài 1: Chứng minh rằng phương trình  
có nghiệm thực  
có bao nhiêu  
64x 96x 36x 3 0  
2 2 2  
2 2 3  
x x0 thỏa mãn điều kiện  
x0   
2
2
2
4
2
Bài 2: Trên đoạn 0;1 phương trình  
8x 12x 8x 8x 1 1  
   
  
nghiệm?  
Dạng 2: Giải phương trình vô tỷ  
Ví dụ 1: Giải phương trình 11x2 x 12 1x2  
Giải:  
   
2 2  
Điều kiện xác định: 1x 1 . Đặt x sint; t   ;  
Ta có phương trình  
t
t
t   
t   
1cost sint 12cost 2cos 2sin cos 12 12sin2  
2
2
2
2
t
t
2
3t  
2
3sin 4sin3  
sin  
1
   
2
2
2
2
2
9 | P a g e  
6
2
1
2
x 1  
t   
t   
x   
   
2 2  
Giải (1) và kết hợp điều kiện t  ;  
ta được  
3
3
2
Ví dụ 2: Giải phương trình 11x2  
1x 1x  
2 1x  
Giải  
Điều kiện xác định: 1x 1 . Đặt x cost; t0;  
Ta có phương trình  
3
3
1sint  
1cost 1cost  
2 sint  
2
t
t
t
t
   
sin cos  
cos3 sin3 2 2 2 sint  
   
   
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
  
  
sin cos  
cos sin  
1sin cos 2 2 2 sint  
  
  
  
  
2
2
2
2
2
1
2
1
2 sint  
2 cost 1 0 cost   
x   
2
2
1
Vậy phương trình có nghiệm  
x  
2
3
Ví dụ 3: Giải phương trình x3 1x2 x 2 1x2  
Giải  
Điều kiện xác định: 1x 1 . Đặt x cost; t0;  
Ta có phương trình  
3
cos3 t 1cos2 t cost 2 1cos2 t  
cos3 t sin3 t 2 cost.sint  
10 | P a g e  

Tải về để xem bản đầy đủ

pdf 36 trang minhvan 13/09/2024 1130
Bạn đang xem 11 trang mẫu của tài liệu "Đề tài Một số ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải toán", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdfde_tai_mot_so_ung_dung_cua_phuong_phap_luong_giac_hoa_trong.pdf