Đề tài Một số ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải toán
Trong việc dạy học toán, ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
TỔ TOÁN
–––––––––&––––––––
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP
LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI TOÁN
Người thực hiện: PHẠM VĂN GIA
Chức vụ: Giáo viên
Lạng Giang, tháng 10 năm 2014
MỤC LỤC
NỘI DUNG
Trang
Phần I: Mở đầu………………..…………………………....................
I. Lý do chọn đề tài ..................................................................................
II. Mục đích nghiên cứu...........................................................................
III. Nhiệm vụ nghiên cứu..........................................................................
IV. Đối tượng nghiên cứu.........................................................................
V. Phạm vi nghiên cứu.............................................................................
VI. Những đóng góp của đề tài.................................................................
Phần II: Nội dung nghiên cứu và kết quả
2
2
2
2
3
3
3
Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài........................................
Chương II: Ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải
phương trình, hệ phương trình đại số ......................................................
Chương III: Ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong bài toán
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.................................................
Chương IV: Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa trong bài toán
tính tích phân ....................................................................................
Chương V: Kết quả nghiên cứu........................................................
Phần III: Kết luận và đề nghị..............…………………………...……
Danh mục tài liệu tham khảo...................................................................
4
7
19
26
33
34
35
1 | P a g e
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong việc dạy học toán, ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán
là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và
vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học
sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết . Trong chương trình
môn toán ở cấp THPT cũng như trong các đề thi tuyển sinh vào các trường ĐH-
CĐ và học sinh giỏi các cấp ta thường gặp các bài toán giải bằng phương pháp
lượng giác hóa. Việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của hàm số lượng giác và
phương trình lượng giác trong giải toán phổ thông luôn là vấn đề hấp dẫn. Để
đáp ứng yêu cầu đó, tôi xin viết chuyên đề “Một số ứng dụng của phương pháp
lượng giác hóa trong giải toán” với phạm vi ứng dụng trong việc giải phương
trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính
tích phân. Hy vọng chuyên đề sẽ giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về
phương pháp này.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp lượng giác hóa nhằm
nâng cao hiệu quả học tập cho học sinh
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Hệ thống hóa các bài tập sử dụng phương pháp lượng giác hóa trong giải
toán
Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của hệ thống các câu hỏi và bài tập đã
được xây dựng
2 | P a g e
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu: ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong
việc giải phương trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của hàm số, tính tích phân
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu tài liệu tham khảo.
Điều tra, khảo sát thực tế học sinh.
Trao đổi cùng các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn.
Tích lũy đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
VI. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
Trình bày rõ được cơ sở lí luận của phương pháp.
Trình bày được 3 ứng dụng quan trọng của đề tài trong việc giải phương
trình, hệ phương trình đại số; tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính
tích phân.
Nâng cao được trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, góp phần đổi
mới phương pháp dạy học.
3 | P a g e
PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan
đến lượng giác hoá đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng
cơ bản dạng toán, sử dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt
phương pháp nào ngộ nhận là logic. Vấn đề ở chỗ những bài toán nào
thích hợp cho việc lượng giác hoá.
Những kiến thức liên quan:
1. Các hàm số cơ bản:
a. Hàm số: y sin x , y cos x .
Miền xác định: R .
Miền giá trị: 1;1 .
Chu kì: 2 .
b. Hàm số: y tan x .
2
Miền xác định: R \
k,k Z .
Miền giá trị: R .
Chu kì: .
c. Hàm số: y cot x.
Miền xác định: R \ k,k Z .
Miền giá trị: R .
Chu kì: .
4 | P a g e
2. Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giá trị:
4
4
Nếu A sin x cos x 2 cos(x ) 2 sin(x ) thì ta có
2 A 2 .
4
4
Nếu B cos x sin x 2 cos(x ) 2 sin(x )thì ta có
2 B 2 .
Nếu C sin x cos x thì ta có 2 2 C 2 2 .
n
n
Nếu
thì ta có 1 D 1.
D cos x sin x
3. Phép đổi biến số:
Nếu x k,(k 0) thì ta đặt x k cos, 0; hoặc
2 2
x k sin, ;
.
2 2
Nếu x R thì ta đặt x tan, ;
.
Nếu x, y thoả mãn điều kiện a2x2 b2 y2 c2 ,(a,b,c 0) thì ta đặt
c
c
x sin , y cos, 0;2 .
a
b
Nếu x, y, z thoả mãn x y z xyz hoặc xy yz zx 1 thì ta có thể đặt
2 2
, y tan, z tan với ,, ;
x tan
5 | P a g e
4. Một số biểu thức (dấu hiệu) thường gặp:
Biểu thức Cách đặt
x a tan
Miền giá trị của biến
x2 a2
;
2 2
(hoặc x a cot )
(hoặc 0; )
a2 x2
x a sin
2 2
;
(hoặc x a cos )
(hoặc 0; )
x2 a2
a
x
2
0; \
cos
a
hoặc a
sin
2 2
hoặc ;
\ 0
x acos2
R
R
a x
a x
a x
a x
hoặc
x a (b a)sin2
(x a)(b x)
x y
1 xy
x y
1 xy
2 2
x tan
hoặc
, ;
y tan
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
Đối với học sinh : Khi chưa cải tiến phương pháp mỗi lớp chỉ được rất ít
em tập trung làm bài tập dạng này
Đối với giáo viên : Sách giáo khoa hầu như bỏ qua dạng toán này, một
số tài liệu cũng có điểm qua nhưng không có tính chất hệ thống .
6 | P a g e
Chương II: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ.
Dạng 1: Giải phương trình đa thức
1
Ví dụ 1: Giải phương trình 4x3 3x 0 1
2
Giải
1
+ Xét với x 1; , hàm số y 4x3 3x đồng biến và y 1 0 nên (1) vô
2
nghiệm
1
+ Xét với x ;1 , hàm số y 4x3 3x đồng biến và y 1 0 nên (1)
2
vô nghiệm
+ Xét với x 1;1 . Khi đó ta đặt
với t 0; . Phương trình lúc này
x cost
có dạng
t
9
k2
3
k2
3
1
1
4cos3 t 3cost 0 cos3t
2
2
t
9
9
7
9
5
9
9
7
9
5
9
t
x cos
Vì t 0; nên t
x cos
t
x cos
+ Vì phương trình (1) là phương trình bậc 3 nên chúng có tối đa 3 nghiệm , do
đó phương trình (1) có đúng 3 nghiệm ở trên.
7 | P a g e
3
Chú ý: Trong phương trình có chứa
, đây là dấu hiệu giúp đặt
x cost
4x 3x
để sử dụng công thức góc nhân ba với cos3t
Ví dụ 2: Tìm nghiệm x 0;1 của phương trình
1
32x x2 1 2x2 1 1
1
x
Giải
2
Vì x 0;1 nên ta đặt
với t 0;
. Ta có phương trình
x cost
1
32cost cos2 t 1 2cos2 t 1 1
cost
32cos2 t.sin2 t.cos2 2t cost 1 2sin2 4t 1 cost cos8t cost
2
2
Giải (2) và kết hợp điều kiện t 0;
ta được các nghiệm
2
7
2
9
4
9
t1
;t2
;t3
2
7
2
9
4
9
Do đó phương trình (1) có 3 nghiệm x1 cos ;x2 cos ;x3 cos
3
Ví dụ 3: Cho phương trình
thỏa mãn x32 2 x2
Giải
. Chứng minh có 3 nghiệm x x x
x 3x 1 0
1
2
3
Đặt f x x3 3x 1 . Ta có f 2 0; f 1 0; f 2 0
Do tính liên tục của f x nên f x 0có 3 nghiệm x x x thỏa mãn
1
2
3
2 x1 1 x2 1 x3 2 xi 2 i1,2,3
0
0
Khi đó ta đặt
x 2cos , 0 ;180
8 | P a g e
1
2
Phương trình có dạng 8cos3 6cos 1 0 cos3
1
0
0
Vì
nên phương trình cos3 có 3 nghiệm
0 ;180
2
1 1600;2 800;3 400
Vì vậy ... Dễ thấy x32 2 x2
Một số bài tập tương tự
6
4
2
Bài 1: Chứng minh rằng phương trình
có nghiệm thực
có bao nhiêu
64x 96x 36x 3 0
2 2 2
2 2 3
x x0 thỏa mãn điều kiện
x0
2
2
2
4
2
Bài 2: Trên đoạn 0;1 phương trình
8x 1 2x 8x 8x 1 1
nghiệm?
Dạng 2: Giải phương trình vô tỷ
Ví dụ 1: Giải phương trình 1 1 x2 x 1 2 1 x2
Giải:
2 2
Điều kiện xác định: 1 x 1 . Đặt x sint; t ;
Ta có phương trình
t
t
t
t
1 cost sint 1 2cost 2cos 2sin cos 1 2 1 2sin2
2
2
2
2
t
t
2
3t
2
3sin 4sin3
sin
1
2
2
2
2
2
9 | P a g e
6
2
1
2
x 1
t
t
x
2 2
Giải (1) và kết hợp điều kiện t ;
ta được
3
3
2
Ví dụ 2: Giải phương trình 1 1 x2
1 x 1 x
2 1 x
Giải
Điều kiện xác định: 1 x 1 . Đặt x cost; t 0;
Ta có phương trình
3
3
1 sint
1 cost 1 cost
2 sint
2
t
t
t
t
sin cos
cos3 sin3 2 2 2 sint
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
sin cos
cos sin
1 sin cos 2 2 2 sint
2
2
2
2
2
1
2
1
2 sint
2 cost 1 0 cost
x
2
2
1
Vậy phương trình có nghiệm
x
2
3
Ví dụ 3: Giải phương trình x3 1 x2 x 2 1 x2
Giải
Điều kiện xác định: 1 x 1 . Đặt x cost; t 0;
Ta có phương trình
3
cos3 t 1 cos2 t cost 2 1 cos2 t
cos3 t sin3 t 2 cost.sint
10 | P a g e
Tải về để xem bản đầy đủ
Bạn đang xem 11 trang mẫu của tài liệu "Đề tài Một số ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải toán", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- de_tai_mot_so_ung_dung_cua_phuong_phap_luong_giac_hoa_trong.pdf